מטריצה סקלרית

מטריצה סקלרית היא מטריצה ריבועית ואלכסונית המתקבלת מכפל של מטריצת היחידה בסקלר. הגדרת כפל סקלר במטריצה היא למעשה כפל של כל שורה במטריצה בסקלר, ובמקרה של מטריצת היחידה, כפל זה יניב מטריצה שבה האלכסון הראשי מורכב מאיברים שכל אחד מהם הוא הסקלר עצמו.

תיאור מתמטי

ניתן להגדיר את איבריה של מטריצה סקלרית $\,[\alpha _{ij}]_{n\times n}$ כך:
עבור $i=j$ מתקיים: $a_{ij}=\lambda$(*)
ועבור $i\neq j$ מתקיים: $a_{ij}=0$.
(*) כאשר $\lambda$ הוא סקלר מסוים.

להמחשה:
$\left[{\begin{array}{ccccccc}\lambda &0&0&\cdots &0&0&0\\0&\lambda &0&\cdots &0&0&0\\0&0&\ddots &&&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &&\lambda &&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &&&\ddots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&\lambda &0\\0&0&0&\cdots &0&0&\lambda \end{array}}\right]$

כפל של מטריצות סקלריות

ניתן להוכיח בקלות כי מטריצה סקלרית שכל איברי האלכסון שלה שונים מאפס, היא גם מטריצה הפיכה, שכן לכל סקלר $\lambda$ קיים סקלר הפכי ${\frac {1}{\lambda }}$ ומכפלה של שתי מטריצות סקלריות עם סקלרים הפכיים תיתן למעשה את מטריצת היחידה. (כפל של מטריצות ריבועיות המניב את מטריצת היחידה הוא תנאי מספיק לכך שהמטריצות הכופלות הפיכות).

אוסף המטריצות הסקלריות מעל שדה k איזומורפי לשדה עצמו. כמו כן, המרכז של חבורת המטריצות הריבועיות הפיכות הוא בדיוק אוסף המטריצות הסקלריות. במילים אחרות, מטריצה ריבועית A היא סקלרית אם ורק אם לכל מטריצה ריבועית B (מאותו הסדר) מתקיים AB=BA.

קישורים חיצוניים

• מטריצה סקלרית, באתר MathWorld (באנגלית)