אי-שוויון המשולש האינטגרלי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־15:58, 31 ביולי 2015

במתמטיקה, ובמיוחד באנליזה פונקציונלית, אי שוויון המשולש האינטגרלי הוא גרסה של אי שוויון המשולש עבור הנורמה האינטגרלית.

משפט: אם

f\,

היא פונקציה אינטגרבילית בקטע

[a,b]\,

אזי מתקיים

\left|\int _{a}^{b}{f(x)\,dx}\right|\leq \int _{a}^{b}{\left|f(x)\right|\,dx}

.

הערה: ניתן להוכיח כי אם $\,f$ אינטגרבילית בקטע $\,[a,b]$ , אז גם $\,|f|$ אינטגרבילית שם.

הוכחה: לכל $x\in [a,b]$ מתקיים: $-|f(x)|\leq f(x)\leq |f(x)|$

ומתכונת המונוטוניות של האינטגרל נסיק ש- $\int _{a}^{b}{-|f(x)|\,dx}\leq \int _{a}^{b}{f(x)\,dx}\leq \int _{a}^{b}{|f(x)|\,dx}$

כלומר: $-\int _{a}^{b}{|f(x)|\,dx}\leq \int _{a}^{b}{f(x)\,dx}\leq \int _{a}^{b}{|f(x)|\,dx}$ .
בסה"כ קיבלנו כי $\left|\int _{a}^{b}{f(x)\,dx}\right|\leq \int _{a}^{b}{\left|f(x)\right|\,dx}$

כנדרש. $\blacksquare$

@@ שורה 3: / שורה 3: @@
 :'''משפט:''' אם <math>f\,</math> היא [[פונקציה אינטגרבילית]] בקטע <math>[a,b]\,</math> אזי מתקיים <math>\left| \int_{a}^{b}{f(x)\,dx} \right| \le \int_{a}^{b}{\left|f(x)\right|\,dx}</math>.
-'''למה:''' אם <math>\, f </math> אינטגרבילית בקטע <math>\, [a,b] </math> אז גם <math>\, |f| </math> אינטגרבילית שם.
+'''הערה:''' ניתן להוכיח כי אם <math>\, f </math> אינטגרבילית בקטע <math>\, [a,b] </math>,  אז גם <math>\, |f| </math> אינטגרבילית שם.
-'''הוכחה:''' יהי <math>\varepsilon>0 </math>  נתון. תהי <math>P=\left\{ x_{0},x_{1},...,x_{n}\right\} </math> חלוקה סופית של הקטע <math>\, [a,b] </math>  כך שמתקיים:
+'''הוכחה: '''לכל <math>x \in [a,b]</math> מתקיים:  <math>-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|</math>
-<math>U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon </math>   (תנאי שקול לאינטגרביליות שנובע מלמת החתכים עבור סכומי דרבו).
-נסמן: <math>M_{i}=\sup\{f(x)|x\in[x_{i-1},x_{i}]\} </math>, <math>m_{i}=\inf\{f(x)|x\in[x_{i-1},x_{i}]\} </math>
-וכן:  <math>\hat{M}_{i}=\sup\{|f(x)|:x\in[x_{i-1},x_{i}]\} </math>, <math>\hat{m}_{i}=\inf\{|f(x)|:x\in[x_{i-1},x_{i}]\} </math>.
-מהגדרת החסם העליון והתחתון, <math>\hat{M}_{i}=\max\left\{ \left|M_{i}\right|,\left|m_{i}\right|\right\} </math> וכן: <math>\hat{m}_{i}=\min\left\{ \left|M_{i}\right|,\left|m_{i}\right|\right\} </math>.
-אם <math>\left|M_{i}\right|\geq\left|m_{i}\right| </math>, אזי מתקיים: (כאשר * נובע מא"ש המשולש ההפוך)
-<math>\hat{M}_{i}-\hat{m}_{i}=\underset{\geq0}{\underbrace{\left|M_{i}\right|-\left|m_{i}\right|}}=\left|\left|M_{i}\right|-\left|m_{i}\right|\right|\stackrel{*}{\leq}\underset{\geq0}{\underbrace{\left|M_{i}-m_{i}\right|}}=M_{i}-m_{i} </math>
-אם <math>\left|M_{i}\right|\leq\left|m_{i}\right| </math> אזי מתקיים:
-<math>\hat{M}_{i}-\hat{m}_{i}=\underset{\geq0}{\underbrace{\left|m_{i}\right|-\left|M_{i}\right|}}=\left|\left|m_{i}\right|-\left|M_{i}\right|\right|\stackrel{*}{\leq}\left|m_{i}-M_{i}\right|=\underset{\geq0}{\underbrace{\left|M_{i}-m_{i}\right|}}=M_{i}-m_{i} </math>
-ובכל מקרה הראינו כי: <math>\hat{M}_{i}-\hat{m}_{i}\leq M_{i}-m_{i} </math> לכל תת-קטע <math>[x_{i-1},x_{i}] </math>  ולכן מתקיים:
-<math>U(\left|f\right|,P)-L(\left|f\right|,P)=\sum_{i=1}^{n}(\hat{M}_{i}-\hat{m}_{i})\cdot(x_{i}-x_{i-1})\leq\sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})\cdot(x_{i}-x_{i-1})=U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon </math>
-לכן, מהתנאי השקול לאינטגרביליות,  <math>\left|f(x)\right|</math> אינטגרבילית בקטע <math>[a,b] </math> , כנדרש.  <math>\blacksquare</math>
-'''הוכחה: '''מהלמה, <math>\left|f(x)\right|</math> אינטגרבילית בקטע <math>[a,b] </math> .
-לכל <math>x \in [a,b]</math> מתקיים:  <math>-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|</math>
 ומתכונת המונוטוניות של האינטגרל נסיק ש- <math>\int_{a}^{b}{-|f(x)|\,dx} \le \int_{a}^{b}{f(x)\,dx} \le \int_{a}^{b}{|f(x)|\,dx}</math>