עקרון שובך היונים – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־23:32, 21 בדצמבר 2023

מקובל להדגים עיקרון זה באמצעות יונים בשובך. כאשר 10 יונים נמצאות ב-9 תאים בשובך, תא אחד לפחות חייב להכיל לפחות שתי יונים.

עיקרון שובך היונים או עיקרון דיריכלה הוא עיקרון מתמטי הקובע כי אם $n$ פריטים מפוזרים בין $n-1$ תאים, אז בהכרח ישנו תא אחד לפחות המכיל יותר מפריט אחד. באופן כללי יותר, כלל זה קובע כי לכל $n$ פריטים המוזרים בין $m$ תאים כך ש $n>m$ , אז בהכרח בלפחות תא אחד יימצאו לפחות $\lceil n/m\rceil$ פריטים, כלומר קיים תא שמספר הפריטים בו הוא לפחות כמו הממוצע.

עיקרון זה נוסח ככל הנראה לראשונה בצורה רשמית בשנת 1834 בידי המתמטיקאי הגרמני יוהאן דיריכלה.

לעיקרון טריוויאלי זה יש שימושים רבים בהוכחות בקומבינטוריקה ומדעי המחשב, ועל אף פשטותו, ניתן להוכיח באמצעותו תוצאות רבות, מעניינות ובלתי טריוויאליות כלל.

הרחבת העיקרון

הרחבה למקרה האינסופי: אם יש אינסוף יונים, ומספר סופי של תאים בשובך לתוכם יש להכניס את אינסוף היונים, בהכרח בתא אחד לפחות יהיו אינסוף יונים.

הרחבה מקובלת נוספת: אם יש $m$ תאים בשובך שלתוכם יש להכניס $m-1$ יונים, אז בהכרח יישאר תא ריק אחד לפחות.

דוגמאות

דוגמאות נוספות ליישומים של העיקרון:

בכל קבוצה בת שלושה עשר אנשים יהיו לפחות שני אנשים שנולדו באותו חודש.
יש במדינת ישראל לפחות שני אנשים עם אותו מספר שערות על ראשם; זאת מכיוון שמעריכים את מספר השערות האפשרי על ראשו של אדם בכמאה אלף, ואילו מספר התושבים במדינת ישראל הוא כמה מיליונים. בדוגמה זו ישנו תא שובך לכל מספר שערות אפשרי, והיונים הם תושבי מדינת ישראל.
בכל תת-קבוצה של $\ n+1$ ערכים מתוך הקבוצה $\ \left\{1,2,\dots ,2n\right\}$ יש שני ערכים כך שאחד מהם מחלק את השני. כדי לראות זאת, ניתן לכתוב כל מספר בקבוצה בצורה $\ 2^{k}m$ כש- $\ m$ הוא אי זוגי וקטן מ- $\ 2n$ ( $\ m$ מתקבל פשוט על ידי חלוקה חוזרת ונשנית של המספר ב-2 עד שמתקבל ערך אי זוגי). יש רק n מספרים אי-זוגיים בין 1 ל-2n ולכן יש בקבוצה שני ערכים בעלי אותו חלק אי-זוגי m - ואחד מהם (זה שהחזקה של 2 עבורו היא קטנה יותר) בהכרח מחלק את השני.
דיריכלה עצמו השתמש בעיקרון כדי להוכיח כי כל מספר אי-רציונלי ניתן לקירוב דיופנטי מסדר שני (הוכחה).
משפט ארדש-סקרש.

הוכחת העיקרון

נניח בשלילה כי לתוך $m$ תאים בשובך יש להכניס n יונים. נכניס לכל תא יונה אחת לכל היותר. קיבלנו כי הכנסנו, במקרה המקסימלי, $m$ יונים, בסתירה לכך ש- $n>m$ .

עקב פשטות ההוכחה של הטענה נעשה בה שימוש רב במחקר העוסק בסיבוכיות של מערכות הוכחה (Proof Complexity).

ראו גם

לקריאה נוספת

Martin Aigner, Günter M. Ziegler, Proofs from THE BOOK, Springer, 1998.
Alexander Razborov, Proof Complexity of Pigeonhole Principles, Proceedings of the 5th DLT, Lecture Notes in Computer Science, vol. 2295, 2002, pages 100-116

קישורים חיצוניים

עקרון שובך היונים, באתר MathWorld (באנגלית)
"אבודים בריבוע, שובך יונים" ב"כאן חינוכית" (בעברית)

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[קובץ:TooManyPigeons.jpg|שמאל|ממוזער|250px|מקובל להדגים עיקרון זה באמצעות יונים ב[[שובך]]. כאשר 10 יונים נמצאות ב-9 תאים בשובך, תא אחד לפחות חייב להכיל לפחות שתי יונים.]]
-'''עיקרון שובך היונים''' או '''עיקרון דיריכלה''' הוא עיקרון [[מתמטיקה|מתמטי]] הקובע כי אם <math>n</math> פריטים מפוזרים בין <math>n-1</math> תאים, אז בהכרח ישנו תא אחד לפחות המכיל יותר מפריט אחד. באופן כללי יותר, כלל זה קובע כי לכל <math>n</math> פריטים המוזרים בין <math>m</math> תאים כך ש<math>n>m</math>, אז בהכרח בלפחות תא אחד יימצאו לפחות <math> p= \lceil n/m \rceil</math> פריטים, כלומר קיים תא שמספר הפריטים בו הוא לפחות כמו הממוצע.
+'''עיקרון שובך היונים''' או '''עיקרון דיריכלה''' הוא עיקרון [[מתמטיקה|מתמטי]] הקובע כי אם <math>n</math> פריטים מפוזרים בין <math>n-1</math> תאים, אז בהכרח ישנו תא אחד לפחות המכיל יותר מפריט אחד. באופן כללי יותר, כלל זה קובע כי לכל <math>n</math> פריטים המוזרים בין <math>m</math> תאים כך ש<math>n>m</math>, אז בהכרח בלפחות תא אחד יימצאו לפחות <math>\lceil n/m \rceil</math> פריטים, כלומר קיים תא שמספר הפריטים בו הוא לפחות כמו הממוצע.
 עיקרון זה נוסח ככל הנראה לראשונה בצורה רשמית בשנת 1834 בידי ה[[מתמטיקאי]] ה[[גרמני]] [[יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה|יוהאן דיריכלה]].
@@ שורה 21: / שורה 21: @@
 ==הוכחת העיקרון==
-[[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי חולקו <math>n</math> פריטים בין <math>m</math>תאים ושבכל התאים ישנם לכל היותר <math>\lceil n/m \rceil-1</math> פריטים. בעקבות הנחה זו, מספר הפריטים הכולל בתאים הוא <math>m(\lceil n/m \rceil-1)</math>. סכום זה הינו קטן מ-<math>n</math> ולכן נגיע ל[[סתירה (לוגיקה)|סתירה]].
+[[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי לתוך <math>m</math> תאים בשובך יש להכניס n יונים. נכניס לכל תא יונה אחת לכל היותר. קיבלנו כי הכנסנו, במקרה המקסימלי, <math>m</math> יונים, בסתירה לכך ש-<math>n > m</math>.
-עקב פשטותה של ההוכחה נעשה בה שימוש רב במחקר העוסק ב[[סיבוכיות]] של מערכות הוכחה (Proof Complexity).
+עקב פשטות ההוכחה של הטענה נעשה בה שימוש רב במחקר העוסק ב[[סיבוכיות]] של מערכות הוכחה (Proof Complexity).
 == ראו גם ==