לדלג לתוכן

משפט בליכפלדט – הבדלי גרסאות

נוספו 1,199 בתים ,  לפני 6 חודשים
 
=== יישומים אחרים ===
[[File:Blichfeldt-Minkowski comparison.svg|thumb|upright=1.5|הדגמה של היתרון של משפט בליכפלדט בהשוואה ללמת מינקובסקי בכל הנוגע למציאת נקודות סריג בתחומים לא קמורים. לתחום הצהוב <math>Y</math> בצד שמאל יש שטח 1, כך שניתן להזיזו כך שיכסה שתי נקודות של כל סריג ששטח התחום היסודי שלוו הוא 1, כמו הסריג האדום. לפיכך התחום הכחול בצד שמאל,<math>X=Y-Y</math>, שהוא קבוצת כל ההפרשים בין זוגות נקודות ב-<math>Y</math>, מכיל, כאשר הוא ממורכז בראשית, נקודת סריג שונה מאפס. בניגוד לכך, למלבן הכחול <math>K</math> שבצד ימין, שהוא תת-הקבוצה הקמורה הגדולה ביותר של <math>X</math>, יש שטח קטן מדי כדי שלמת מינקובסקי תבטיח שהוא יכיל נקודת סריג שונה מאפס, ובדומה לכך המלבן הצהוב <math>\tfrac{1}{2}K</math> שבתוכו הוא קטן מדי בשביל שמשפט בליכפלדט יהיה תקף לגביו.]]
יישומים רבים של משפט בליכפלדט, כגון השימוש בו להוכחת למת מינקובסקי, חותרים למציאת נקודת סריג שונה מאפס בעבור קבוצה גדולה מספיק, אך כזאת שאינה קמורה. בהוכחת למת מינקובסקי, קשר המפתח בין הקבוצות <math>X</math> ו-<math>\tfrac{1}{2}X</math> אשר גורם להוכחה כולה לעבוד הוא העובדה שכל ההפרשים בין זוגות של נקודות (כלומר ההפרשים בין הוקטורים המתאימים לנקודות) ב-<math>\tfrac{1}{2}X</math> משתייכים ל-<math>X</math>. אף על פי כן, בעבור קבוצה <math>X</math> שאינה קמורה, ייתכן מצב בו ההפרש בין זוג נקודות של <math>\tfrac{1}{2}X</math> אינו שייך <math>X</math>, מה שהופך את הטכניקה של הוכחת למת מינקובסקי ללא שמישה. ניתן במקום זאת למצוא את תת הקבוצה הקמורה והסימטרית ביחס לראשית הגדולה ביותר <math>K\subset X</math>, ואז להפעיל את בלמת מינקובסקי לגבי <math>K</math>, או באופן שקול להשתמש במשפט בליכפלדט לגבי <math>\tfrac{1}{2}K</math>. אף על פי כן, במקרים רבים לקבוצה לא קמורה <math>X</math> יש תת-קבוצה <math>Y\subset X</math> שהיא גדולה יותר מ-<math>\tfrac{1}{2}K</math>, אשר כל ההפרשים בין זוגות נקודות שלה שייכים ל-<math>X</math>. כאשר זה המקרה, גודלה הרב יותר של <math>Y</math> בהשוואה ל-<math>\tfrac{1}{2}K</math> מוביל לחסמים טובים יותר לגבי השאלה כמה גדולה צריכה להיות הקבוצה <math>X</math> כדי להבטיח שהיא תכיל נקודת סריג.