משוואת לפלס

משוואת לפלס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית מהצורה $\ \Delta f=f_{xx}+f_{yy}=0$ כאשר $\ f$ היא פונקציה של שני משתנים ב $\ x,y$, ו $\ \Delta f$ הוא הלפלסיאן של הפונקציה $\ f$, כאשר מתקיים, על פי הגדרת הגרדיאנט, $\ \Delta =\nabla ^{2}$. פונקציה המקיימת את משוואת לפלס נקראת פונקציה הרמונית.

תכונות

משוואת לפלס סימטרית במקרים הבאים:

• ביחס להזזה של הצירים, כלומר אם $\ u(x,y)$ הרמונית, גם $\ u(x-a,y-b)$ הרמונית;
• ביחס לסיבוב של הצירים, כלומר אם $\ u(r,\theta )$ הרמונית, גם $\ u(r,\theta +\gamma )$ הרמונית;
• ביחס לנירמול המשתנים, כלומר אם $\ u(x,y)$ הרמונית, גם $\ u({\frac {x}{\delta }},{\frac {y}{\delta }})$ הרמונית.

כאשר $\ a,b,\gamma ,\delta$ כולם קבועים.

שימושים בפיזיקה

משוואת לפלס מופיעה בתחומים שונים בפיזיקה, לדוגמא:

• פוטנציאל חשמלי באיזור ריק ממטענים, מקיים את משוואת לפלס.
• התפלגות הטמפרטורה של גוף במצב יציב מקיימת את משוואת לפלס.

ראו גם

• משוואות קושי-רימן
• פונקציה אנליטית
• משוואת פואסון