פונקציה הרמונית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה ופיזיקה, פונקציה הרמונית היא פונקציה (כאשר היא קבוצה פתוחה ב-) המקיימת את משוואת לפלס שהיא המשוואה הדיפרנציאלית החלקית:

פונקציה שעבורה אגף שמאל של המשוואה הוא אי שלילי בכל נקודה נקראת פונקציה תת-הרמונית, ופונקציה המקיימת שאגף שמאל של המשוואה הוא אי חיובי בכל נקודה נקראת פונקציה על הרמונית.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מימד אחד[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואת לפלס במימד אחד היא . אם כן, פונקציות הרמוניות ממימד אחד הן פונקציות ליניאריות מהצורה זאת כאשר ו- הם קבועים.

שני מימדים[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואת לפלס בשני מימדים היא מהצורה . להלן מספרת דוגמאות לפונקציות הרמוניות בשני מימדים:

  • הפונקציה היא פונקציה הרמונית של שני משתנים המוגדרת בכל נקודה במישור חוץ מהראשית.
  • אם היא פונקציה הולומורפית אז ממשוואות קושי רימן נובע שהפונקציות וכן הן פונקציות הרמוניות בשני משתנים.
  • ההפך גם מתקיים: עבור פונקציה הרמונית בשני משתנים אפשר למצוא פונקציה כך שהפונקציה היא הולומורפית. כזו נקראת הצמודה ההרמונית של . אם מוגדרת על קבוצה פתוחה , אזי לא מובטח שקיימת לה צמודה הרמונית בכל התחום, אלא רק באופן מקומי.

שלושה מימדים[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואת לפלס בשלושה מימדים היא מהצורה .

משוואה זו משמשת רבות במציאת פוטנציאל של שדה חשמלי בנקודה שבה אין מטען חשמלי, ובאופן דומה בדומה, פוטנציאל של שדה כבידה בנקודה בה אין מסה הוא פונקציה הרמונית. להלן מספרת דוגמאות לפונקציות הרמוניות בשלושה מימדים (כלל הדוגמאות בקואורדינטות כדוריות):

  • פוטנציאל של מטען נקודתי .
  • פונקציית הדיפול (בדוגמה זו בכיוון )
  • פוטנציאל מטען אחיד על ישר אינסופי (בדוגמה זו בכיוון )
  • פוטנציאל מטען אחיד על ישר חצי-אינסופי (בדוגמה זו בכיוון )
  • הרמוניות ספריות. באופן כללי ניתן להוכיח שכל פתרון של משואת לפלס התלת מימדית ניתן לפירוק לסכום אינסופי של הרמוניות ספריות כפול רכיב הרדיוס בחזרת התנע הזוויתי:

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • עקרון המקסימום טוען שפונקציה הרמונית בתחום מקבלת את ערכה המקסימלי על השפה של .
  • תכונת הערך הממוצע היא שהערך של פונקציה הרמונית בנקודה שווה לממוצע הערכים שלה על פני ספרה סביב . בסימונים, אם פונקציה הרמונית אז .
  • משפט ליוביל טוען שפונקציה הרמונית חסומה (למעשה מספיק שהפונקציה תהיה חסומה מאחד הכוונים) שמוגדרת על כל היא קבועה.

מושגים קשורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • הלפלסיאן הוא האופרטור הדיפרנציאלי . פונקציה הרמונית, לכן, היא פונקציה המקיימת .
  • בגאומטריה דיפרנציאלית מכלילים את הגדרת הלפלסיאן (ולכן את הגדרת ההרמוניות) עבור תבניות דיפרנציאליות מסדר גבוה מ-0 וגם ליריעות עם מטריקה לא שטוחה. הלפלסיאן המוכלל נקרא אופרטור לפלס-בלטרמי.
  • בתורת הגרפים מגדירים פונקציה הרמונית להיות פונקציה (כאשר היא קבוצת הקדקודים של גרף) המקיימת (באנלוגיה לתכונת ערך הבינים) (כלומר, הערך של הפונקציה בקדקד מסוים שווה לממוצע הערכים של הפונקציה על השכנים של הקדקד).
  • בעיית דיריכלה שואלת באילו תנאים יש פונקציה הרמונית בתחום שצמצומה לשפה של הוא פונקציה נתונה.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]