מנרמל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות, מנרמל (או נורמליזטור) של תת-חבורה H בחבורה G הוא תת-החבורה הגדולה ביותר של G שבה H נורמלית.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

המנרמל של תת-חבורה הוא אוסף כל האיברים של G המקיימים את התנאי . במלים אחרות, אלו האיברים שעבורם, הצמוד שייך ל-H לכל , ורק עבור h כזה. את המנרמל מקובל לסמן ב-, כך ש- .

כאשר מדובר בחבורות סופיות (ואפילו אם H בלבד סופית), הקבוצה שווה למנרמל. עם זאת, באופן כללי התנאי חלש מתנאי השוויון, והוא מגדיר קבוצה המכילה את המנרמל, ועשויה להיות שונה ממנו. קבוצה זו סגורה לכפל, אבל אינה בהכרח סגורה לפעולת ההיפוך. לדוגמה, בחבורת Baumslag-Solitar , האיבר a אינו שייך למנרמל של תת-החבורה הציקלית , אף על פי ש-.

תכונות עיקריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מן ההגדרה ברור ש- , וש- H היא תת-חבורה נורמלית שם. המנרמל הוא תת-החבורה הגדולה ביותר שבה H נורמלית - כל תת-חבורה של G המכילה את H ושבה H נורמלית, מוכלת במנרמל של H. המנרמל שווה ל-G אם ורק אם H עצמה תת-חבורה נורמלית.

האינדקס של שווה למספר תת-החבורות הצמודות ל-H. אפשר לראות בגודל המנרמל מדד ל"מידת הנורמליות" של תת-החבורה: המנרמל של H שווה ל-H כאשר היא רחוקה ביותר מלהיות נורמלית.

באופן כללי מתקיים . אם G היא חבורת-p אז לכל . לעומת זאת, אם P היא תת-חבורת סילו, אז לכל .