תת-חבורה נורמלית

באלגברה, תת חבורה נורמלית היא תת-חבורה הסגורה תחת פעולת ההצמדה באיברי החבורה החיצונית. חשיבותן העיקרית של תת-חבורות נורמליות היא בכך שניתן להשתמש בהן כדי ליצור חבורת מנה, וכך לפרק את החבורה לשני מרכיבים: התת-חבורה הנורמלית, והמנה ביחס אליה. הרכבת החבורה בחזרה משני מרכיבים אלה נקראת הרחבה של חבורות.

הגדרה

תהא $G$ חבורה ותהא $N\leq G$ תת-חבורה שלה. לכל איבר $g\in G$, הקבוצה $g^{-1}Ng={\bigl \{}g^{-1}xg:x\in N{\bigr \}}$ היא ה"הצמדה" של $N$ על ידי $g$. אם לכל איבר $g$ מתקיים $g^{-1}Ng\subseteq N$, אזי $N$ היא תת-חבורה נורמלית של $G$, ומסמנים $N\trianglelefteq G$. אם בנוסף $N\neq G$ אזי מסמנים $N\vartriangleleft G$.

הגדרה באמצעות מחלקות

קבוצה מהצורה $Ng=\{xg:x\in N\}$ או $gN=\{gx:x\in N\}$ נקראת "מחלקה" (ימנית או שמאלית, בהתאמה), או "קוסט" של $N$. התת-חבורה $N$ נורמלית אם ורק אם לכל $g\in G$ מתקיים $gN=Ng$. במקרה כזה, לכל $g\in G$ ולכל $n_{1}\in N$ קיים $n_{2}\in N$ עבורם $gn_{1}=n_{2}g$.

מכאן גם רואים ישירות כי בחבורה קומוטטיבית כל תת-חבורה היא נורמלית, כי לכל $g\in G$ ולכל $n\in N$ מתקיים $ng=gn$.

תת-חבורות נורמליות וחבורות מנה

בהינתן חבורה $G$ ותת-חבורה $N\leq G$, חבורת המנה $G/N$ מוגדרת היטב אם ורק אם $N\trianglelefteq G$. הסיבה לכך היא שהנורמליות היא הדרישה השקולה לכך שכפל נציגי המחלקות השונים יהיה מוגדר היטב:
תהי $H$ תת-חבורה של $G$ ויהיו $g_{1},g_{2}\in G$. אנו רוצים שהכפל בין המחלקות יהיה מוגדר היטב באמצעות נציגים, כלומר $(g_{1}H)(g_{2}H)=g_{1}g_{2}H$.
נוכיח זאת: יהיו $g_{1},g_{2}\in G$ איברים כלשהם. השוויון $(g_{1}H)(g_{2}H)=g_{1}g_{2}H$ מתקיים רק אם קיימים $h_{1},h_{2},h_{3}\in H$ עבורם $g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}=g_{1}g_{2}h_{3}$, ובאמצעות אלגברה נקבל $h_{1}g_{2}=g_{2}h_{3}h_{2}^{-1}$, ואם נסמן $g=g_{2}\in G,\ n_{1}=h_{1},\ n_{2}=h_{3}h_{2}^{-1}\in H$ נקבל $n_{1}g=gn_{2}$ לכל $g\in G$ וקיום תנאי זה אומר כי $H$ היא חבורה נורמלית.

ניתן להראות כי גרעין של הומומורפיזם שתחומו $G$ הוא תמיד תת-חבורה נורמלית של $G$. יותר מכך, ניתן להראות גם כי כל תת-חבורה נורמלית של $G$ היא גרעין של הומומורפיזם כלשהו שתחומו $G$.

נורמליזטור

אם $G$ חבורה ו-$H$ תת-חבורה, המנרמל (או: הנורמליזטור) של $H$ ב-$G$ הוא התת-חבורה $N_{G}(H)=\{x\in G:xHx^{-1}=H\}$. זוהי התת-חבורה הגדולה ביותר של $G$ שבתוכה $H$ נורמלית. המְרכז של $H$, $C_{G}(H)={\bigl \{}x\in G:\forall h\in H,xhx^{-1}=h{\bigr \}}$, בוודאי מוכל בנורמליזטור, ואף מתקיים $C_{G}(H)\trianglelefteq G$. האינדקס של הנורמליזטור ב-$G$ שווה למספר תת-החבורות השונות מהצורה $xHx^{-1}$ (היינו, התת-חבורות הצמודות ל-$H$).

ליבה של חבורה

אם $H\leq G$ תת-חבורה (שאינה בהכרח נורמלית), הליבה של $H$ מוגדרת כחיתוך כל תת-החבורות הצמודות לה:

${\text{Core}}_{G}(H)=\bigcap _{g\in G}gHg^{-1}$.

זאת תמיד תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב-$H$ (ראו גם העידון של משפט קיילי). מכיוון שבחישוב החיתוך די לקחת נציג אחד $g$ מכל מחלקה ימנית של $H$, אם $H$ תת-חבורה מאינדקס סופי, אזי הליבה שלה היא חיתוך של מספר סופי של חבורות צמודות. מכאן נובע שכל תת-חבורה מאינדקס סופי מכילה גם תת-חבורה נורמלית מאינדקס סופי.

חבורות פשוטות

חבורה $G$ אשר התת-חבורות הנורמליות היחידות שלה הן $G$ עצמה ו-$\{e\}$ נקראת חבורה פשוטה. לחבורות פשוטות חשיבות רבה, שכן הן מהוות את "אבני הבנייה" הבסיסיות של כל החבורות הסופיות, בצורה דומה לזו שבה המספרים הראשוניים מהווים אבני בנייה של המספרים הטבעיים.

תת-חבורות אופייניות

תת-חבורה נורמלית של $G$ היא, כאמור, תת-חבורה הנשמרת תחת פעולת ההצמדה בכל איבר של $G$. סוג חזק במיוחד של תת-חבורה כזו נקרא תת-חבורה אופיינית (או קרקטריסטית): זאת תת-חבורה הנשמרת תחת כל אוטומורפיזם של $G$ (ולא רק אוטומורפיזם פנימי). באופן כללי, תת-חבורות כאלה מתקבלות מהפעלת שיקולים מבניים (שאינם תלויים בהצגה מסוימת של $G$). לדוגמה, המרכז של $G$ הוא תת-חבורה אופיינית. גם תת-חבורת הקומוטטורים והאיברים האחרים של הסדרה המרכזית היורדת והסדרה המרכזית העולה הם תת-חבורות אופייניות.

לתכונת האופייניות יש יתרון בולט על-פני נורמליות: זוהי תכונה טרנזיטיבית. אם $A$ תת-חבורה נורמלית של $B$ ו-$B$ נורמלית (ואפילו אופיינית) של $C$, אז $A$ עשויה שלא להיות תת-חבורה נורמלית של $C$. לעומת זאת, אם $A$ אופיינית ב-$B$, אז התכונות של $B$ עוברות בירושה ל-$A$: אם $B$ נורמלית ב-$C$ אז כך גם $A$, ואם $B$ אופיינית ב-$C$ אז כך גם $A$.

תת-חבורות תת-נורמליות

אם קיימת שרשרת של תת-חבורות $G_{t}\leq \cdots \leq G_{1}\leq G$ כך שכל $G_{i+1}\trianglelefteq G_{i}$, אזי אומרים כי $G_{t}$ תת-חבורה תת-נורמלית של $G$. לדוגמה, כל תת-חבורה של חבורת p סופית היא תת-נורמלית. לכל חבורה $H$ אפשר לבנות את השרשרת

$H\subseteq N_{G}(H)\subseteq N_{G}(N_{G}(H))\subseteq N_{G}(N_{G}(N_{G}(H)))\subseteq \cdots$

בחבורות סופיות, השרשרת נעצרת כאשר מתקבל שוויון בפעם הראשונה; $H$ תת-נורמלית אם ורק אם שרשרת הנורמליזטורים מגיעה לחבורה $G$. חבורה היא כמעט תת-נורמלית אם יש שרשרת כנ"ל, שבה כל צעד הוא או סופי או נורמלי.

חיתוך טריוויאלי

אם החיתוך של תת-חבורה עם כל תת-חבורה צמודה לה הוא טריוויאלי, אומרים שיש לה "חיתוך טריוויאלי"; תכונה זו נמצאת בקוטב המנוגד לנורמליות. חבורה שכל תת-החבורות שלה הן בעלות חיתוך טריוויאלי נקראת "חבורה בעלת חיתוך טריוויאלי", או חבורת TI ‏.

תת-חבורה $H$ של $G$ נקראת מלנורמלית אם כל הצמדה שלה על ידי איבר שאיננו שייך ל-$H$ נחתכת עם $H$ רק באיבר היחידה. זהו טיפוס קיצוני של תת-חבורה עם חיתוך טריוויאלי.

דוגמאות

• בכל חבורה אבלית כל תת-חבורה היא נורמלית.
• $A_{n}$ תת-חבורה נורמלית של $S_{n}$, כאשר $S_{n}$ היא החבורה הסימטרית מסדר $n$ ואילו $A_{n}$ היא חבורת התמורות הזוגיות מסדר $n$.
• החבורה הציקלית שנוצרת על ידי הסיבוב ב-${\tfrac {2\pi }{n}}$ היא תת-חבורה נורמלית של החבורה הדיהדרלית מסדר $n$.
• את שתי הדוגמאות האחרונות ניתן להכליל: כל תת-חבורה מאינדקס 2 היא נורמלית. זאת מכיוון שאם $[G:N]=2$, אז לכל $g\notin H$, הן $gH$ והן $Hg$ הם המחלקה הלא-טריוויאלית היחיד של $H$.
• עבור $n\geq 5$ אין ל-$S_{n}$ תת-חבורות נורמליות פרט ל-$A_{n}$.

קישורים חיצוניים

• תת-חבורה נורמלית, באתר MathWorld (באנגלית)