מספר פריק במיוחד

מספר פריק במיוחד (או מספר "אנטי ראשוני"^[1]) הוא מספר שלם חיובי שמספר המחלקים שלו עולה על זה של כל מספר קטן ממנו. עשרים המספרים הראשונים מסוג זה הם:

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560 ו-10080.

ישנם אינסוף מספרים פריקים במיוחד. כדי להוכיח עובדה זו, נניח ש-n הוא מספר פריק במיוחד כלשהו. ל-2n יש יותר מחלקים מאשר ל-n (כי 2n מתחלק בעצמו ובכל המחלקים של n), ולכן קיים מספר גדול מ-n אך לא גדול מ-2n שהוא מספר פריק במיוחד.

מבחינה לא פורמלית, כדי שמספר יהיה פריק במיוחד הוא צריך שיהיו לו גורמים ראשוניים קטנים ככל האפשר, ושיהיו שונים זה מזה.

אם נפרק מספר n לגורמים ראשוניים בצורה הבאה:

n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}

כאשר $p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}$ הם ראשוניים, המעריכים $c_{i}$ הם מספרים שלמים וחיוביים, אז מספר המחלקים של n הוא בדיוק:

(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1)

.

ולכן כדי ש-n יהיה מספר פריק במיוחד:

k המספרים הראשוניים הנתונים $p_{i}$ חייבים להיות k המספרים הראשוניים הראשונים (2, 3, 5...); אחרת, נוכל להחליף אחד הראשוניים הנתונים בראשוני קטן יותר, ובכך להשיג מספר קטן יותר מ-n שלו אותו מספר מחלקים (לדוגמה, את 10=2*5 ניתן להחליף ל-6=2*3 לשניהם יש 4 מחלקים).
סדרת המעריכים צריכה להיות יורדת במובן החלש, כלומר $c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}$ ; אחרת על ידי החלפת שני מעריכים החורגים מכלל זה ניתן לבנות מספר קטן יותר מ-n עם אותו מספר מחלקים (לדוגמה, את 18=2¹x3² ניתן להחליף ב-12=2²x3¹, לשניהם 6 מחלקים).