מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, מערכת דינמית היא מרחב טופולוגי
X
{\displaystyle X}
הומיאומורפיזמים
T
t
:
X
→
X
{\displaystyle T_{t}:X\rightarrow X}
T
t
∘
T
t
′
=
T
t
+
t
′
{\displaystyle T_{t}\circ T_{t'}=T_{t+t'}}
T
{\displaystyle T}
x
{\displaystyle x}
t
{\displaystyle t}
T
t
(
x
)
{\displaystyle T_{t}(x)}
מערכות דינמיות קלאסיות מתארות תנועה
x
(
t
)
=
(
x
1
(
t
)
,
…
,
x
n
(
t
)
)
{\displaystyle x(t)=(x_{1}(t),\dots ,x_{n}(t))}
מרחב האוקלידי
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
d
x
i
d
t
=
f
i
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}
שמורה של מערכת כזו היא פונקציה
H
:
R
n
→
R
{\displaystyle H:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
∑
i
∂
H
∂
x
i
x
i
=
0
{\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial x_{i}}}x_{i}=0}
H
(
x
(
0
)
)
=
0
{\displaystyle H(x(0))=0}
H
(
x
(
t
)
)
=
0
{\displaystyle H(x(t))=0}
t
{\displaystyle t}
H
=
0
{\displaystyle H=0}
בדינמיקה סימבולית , אוסף הסדרות האינסופיות
Σ
Z
{\displaystyle \Sigma ^{\mathbb {Z} }}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
טופולוגית המכפלה , ובאופרטור הזזה
T
:
(
(
x
i
)
i
∈
Z
)
↦
(
(
x
i
+
1
)
i
∈
Z
)
{\displaystyle T\colon ((x_{i})_{i\in \mathbb {Z} })\mapsto ((x_{i+1})_{i\in \mathbb {Z} })}
תת-הזזה היא תת-קבוצה סגורה
X
⊆
Σ
Z
{\displaystyle X\subseteq \Sigma ^{\mathbb {Z} }}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
טופולוגית המכפלה ) שהיא סגורה גם תחת
T
,
T
−
1
{\displaystyle T,T^{-1}}
