מצבים קוהרנטיים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בפיזיקה, מצבים קוהרנטיים הם מצבים קוונטיים של מתנדים הרמוניים אשר התנהגותם בזמן דומה להתנהגות הקלאסית של המערכת (כאשר זו מוגדרת). דמיון זה מתבטא בכך שערכי התצפית (התוחלת) של המיקום והתנע משתנים בזמן בדיוק כמו התנע והמקום של מתנד הרמוני קלאסי, כלומר הם מתנהגים באופן מחזורי בזמן בדומה למטוטלת פשוטה. למצבים קוהרנטיים ישנה חשיבות רבה בתיאור של מערכות קוונטיות, ותכונות האור של לייזרים. בנוסף לכך, הם מהווים מרכיב בסיסי בבנייה של תורת השדות הקוונטית המתארת מערכות מרובות חלקיקים.

מצבים קוהרנטיים, באופן כללי, הם הכללות של המצבים הקוהרנטיים של מתנד הרמוני פשוט. לכן מרבית הדיון במאמר זה יתמקד במקרה זה, ורק בסופו ייסקרו ההכללות ומשמעויותיהן.

סופרפוזיציה של מצבים קוהרנטים מכונה מצב חתול, על-שם החתול של שרדינגר, שנמצא בסופרפוזיציה של שני מצבים קלאסיים מקרוסקופיים.

הגדרה פורמלית ובניית המצבים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מצבים קוהרנטיים הם המצבים העצמיים של אופרטור ההשמדה (נקרא גם אופרטור ההורדה, החיסול, ההריסה; ראה אופרטורי סולם בערך מתנד הרמוני קוונטי). כדי להסביר את מהות הגדרה זו נתמקד במקרה הפשוט של מתנד הרמוני קוונטי בממד אחד המתואר על ידי ההמילטוניאן:

\ H= \frac{p^2}{2 m} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2

כאשר \ \omega היא התדירות העצמית של המתנד, \ x הוא אופרטור המיקום של החלקיק ו- \ p אופרטור התנע. אופרטורי ההשמדה והיצירה (אופרטורי הסולם) של בעיה מוגדרים להיות:

\begin{matrix}
a &=& \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {i \over m \omega} p \right) \\
a^{\dagger} &=& \sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( x - {i \over m \omega} p \right)
\end{matrix}

כאשר \ a הוא אופרטור ההשמדה (או אופרטור הורדה) ו- \ a^{\dagger} הוא אופרטור היצירה (או אופרטור העלאה).

מצב קוהרנטי \ |z \rangleכתיב דיראק) הינו מצב המקיים:

a |z \rangle = z|z \rangle

כאשר \ z הוא מספר מרוכב שרירותי.

הצגה בבסיס המספר[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר למצוא מההגדרה הזאת את ההצגה של המצב הקוהרנטי  |z\rangle בבסיס המספר  \{ |n\rangle \}_{n=0}^\infty :
נכתוב

 |z \rangle = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n|n \rangle

נפעיל את אופרטור ההורדה:

 a|z \rangle = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n a|n \rangle = \sum_{n=0}^\infty \alpha_n \sqrt{n} |n-1\rangle

ע"י החלפת אינדקסים נקבל

 a|z \rangle = \sum_{n=0}^\infty \alpha_{n+1} \sqrt{n+1} |n\rangle

ולפי הגדרה זה צריך להיות שווה ל-  z|z\rangle ולכן צריך להתקיים בהכרח  z\cdot \alpha_n = \sqrt{n+1} \alpha_{n+1} . נקבל את יחס הרקורסיה

 \alpha_{n+1}=\frac{z}{\sqrt{n+1}} \alpha_n

לכן בהנתן \alpha_0 אפשר לראות שהאיבר הכללי נתון ע"י

 \alpha_{n}=\frac{z^n}{\sqrt{n!}} \alpha_0

כעת, בשביל נרמול נדרוש ש-  \sum_{n=0}^\infty |\alpha_n|^2 = 1. כלומר

 |\alpha_0|^2 \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{|z^2|^n}{n!} =1 \Rightarrow |\alpha_0|^2\cdot e^{|z^2|} =1 \Rightarrow |\alpha_0|=e^{-\frac{|z|^2}{2}}

לסיום, משום שהפאזה הגלובלית לא משנה להגדרת המצב, נבחר את \alpha_0 להיות ממשי ונקבל

 |z\rangle = e^{-\frac{|z|^2}{2}}\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\sqrt{n!}} |n\rangle

בניה של מצבים קוהרנטיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מההגדרה שלמעלה נובע כי מצב קוהרנטי מתואר על ידי:

\ |z\rangle = e^{-\frac{|z|^2}{2}}e^{ z a^\dagger} |0 \rangle

כאשר \ |0\rangle הוא מצב היסוד (כלומר המצב בעל האנרגיה הנמוכה ביותר) של המתנד ההרמוני. ניתן להוכיח פתרון זה על ידי השימוש בתכונות אופרטורי היצירה וההשמדה:

\ a |n \rangle = \sqrt{n} |n-1\rangle
\ a^\dagger |n \rangle = \sqrt{n+1} |n+1\rangle

כאשר \ |n\rangle הוא המצב המתאר את הרמה הn-ית של המתנד.

אפשרות אחרת היא לבנות את המצבים הקוהרנטיים על ידי פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית המגדירה אותם. אופרטור התנע בהצגת המקום הינו \ p=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} ולכן מהגדרת המצבים הקוהרנטיים נובע שהם מקיימים את המשוואה:

\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(x + {\hbar \over m \omega}\frac{\partial}{\partial x}\right)\psi_z(x)=z \psi_z(x)

פתרון משוואה זו הינו:

\ \psi_z(x)= \left( \frac{\hbar \pi}{m \omega} \right)^{\frac{1}{4}}e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar}(x-\bar{x})+\frac{i}{\hbar} x \bar{p}}

כאשר

z = \sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\bar{x} + {i \over m \omega} \bar{p} \right)

הדינמיקה של מצבים קוהרנטיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

המצבים הקוהרנטיים אינם מצבים עצמיים של המערכת, ולכן הם משתנים בזמן. מצבים אלו מאופיינים על ידי שני מספרים: החלק הממשי והחלק הדמיוני של המספר המרוכב \ z, שהוא הערך העצמי של אופרטור ההשמדה. מספרים אלו מגדירים את ערכי התוחלת של המקום והתנע של המצב הקוהרנטי:

\bar{x}= \langle z|x|z \rangle=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} \langle z|a+a^\dagger|z\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}} (z+z^*) = \sqrt{\frac{2\hbar}{m\omega}} \operatorname{Re}(z)
\bar{p}= \langle z|p|z \rangle=\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}}\frac{1}{i}\langle z | a-a^\dagger |z\rangle = \sqrt{2\hbar m \omega} \operatorname{Im}(z)

כמו כן, אם לדוגמה נניח שפונקציית הגל ברגע t=0 היא מצב קוהרנטי  |z\rangle כאשר  z=|z|e^{i\theta} , יעניין אותנו לראות מה קורה בזמן:

|\psi\rangle (t) = e^{-\frac{|z|^2}{2}} \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\sqrt{n!}} e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}|n\rangle

האנרגיה של המצב |n\rangle היא  \frac{\hbar \omega}{2} + n\hbar \omega ולכן

|\psi\rangle (t) = e^{-\frac{|z|^2}{2}} \cdot e^{-i\frac{\omega}{2}t} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z\cdot e^{-i\omega t})^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle

אך נשים לב שזה בדיוק המצב הקוהרנטי |z\cdot e^{-i\omega t} \rangle (עד כדי פאזה גלובלית שלא משנה את המצב, e^{-i\frac{\omega}{2} t} ). משום שהחלק הממשי של z הוא המיקום הממוצע והחלק המדומה שלו הוא התנע הממוצע, יוצא שב"מרחב הפאזה" של המיקום והתנע הממוצעים המערכת מתנהגת ממש כמו שהייתה מתנהגת במרחב הפאזה באוסילטור הרמוני קלאסי. בגלל התכונה הזאת ותכונות נוספות ניתן לאמר שהמצבים הקוהרנטיים הם המצבים הכי דומים בהתנהגותם לאוסילטורים קלאסיים.

יחס אי-וודאות של מצבים קוהרנטיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מצבים קוהרנטיים הם חבילות גלים בעלי יחס אי-הוודאות המינימלי האפשרי:

\ \Delta p \Delta x=\frac{\hbar}{2}

כאשר \ \Delta x ו- \ \Delta p הם אי הודאויות במיקום ובתנע של החלקיק, בהתאמה.

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מצבים קוהרנטיים ניתנים להכללה במספר אופנים:

  • הכללה למערכת המכילה מספר גדול של מתנדים הרמוניים המצומדים זה לזה (למשל תנודות גלי קול בגביש)
  • הכללה לתורת השדות הקוונטית בוזונית שם אופרטורי היצירה וההשמדה הם אופרטורים שיוצרים ומשמידים חלקיקים בנקודות כלשהן במרחב (או במרחב התנע).
  • הכללה לתורת שדות פרמיונית שם יש להשתמש באלגברה גרסמנית לצורך התיאור של מצבים קוהרנטיים
  • הכללה של מצבים קוהרנטיים עבור הדינמיקה של ספין.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]