משוואת בולצמן

משוואת בולצמן הידועה גם בשם משוואת ההולכה של בולצמן, על שם יוצרה, הפיזיקאי לודוויג בולצמן, עוסקת בהתפלגות של צפיפות ההסתברות של חלקיק בנוזל - כלומר הסיכוי שלו להימצא בנקודה מסוימת בזמן מסוים במהירות מסוימת. זו משוואה חשובה בתרמודינמיקה ובמכניקה סטטיסטית, העוסקת במערכות הרחוקות משיווי משקל תרמודינמי. המשוואה משמשת לחקר הולכה של תכונות פיזיקליות, כגון מטען חשמלי או חום, ומכאן לחקר תכונות כגון מוליכות חום, אפקט הול וצמיגות.

את המשוואה פיתח בולצמן בעקבות מחלוקת בינו לבין אנרי פואנקרה בשאלה האם הזמן הפיך, כלומר, האם ייתכן כי אירועים יתחוללו בסדר הפוך בזמן (במילים אחרות, האם למערכת פיזיקלית סגורה קיימת סימטריה בזמן).

משוואת בולצמן היא:

${\frac {\partial f}{\partial t}}+v{\frac {\partial f}{\partial x}}+a{\frac {\partial f}{\partial v}}={\frac {\partial f}{\partial t}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{c}$

כאשר:

• f היא פונקציית התפלגות צפיפות ההסתברות של החלקיק במרחב המקום, במרחב המהירויות ובזמן.
• x - מסמן את המקום (בשלושה ממדים)
• v - מסמן את המהירות (גם כן בשלושה ממדים)
• a - מסמן את התאוצה
• t - מסמן את הזמן

צד ימין של המשוואה מייצג את השינוי בפונקציית התפלגות החלקיקים בעקבות התנגשות ביניהם. משוואה זו נובעת משיקולים פיזיקליים פשוטים. ממשוואת בולצמן ניתן לבצע חישובים רבים ולהסביר תופעות רבות בטבע (לדוגמה: מהו מקדם המוליכות של מתכת), והדבר החשוב ביותר הוא, שניתן להוכיח כי הזמן איננו הפיך.

קישורים חיצוניים

• גלי ויינשטיין, מתמטיקאים פותרים את משוואת בולצמן בת 140 השנה, הידען, 3.6.2010