משפט גלפנד-מזור

משפט גלפנד-מזור הוא משפט בסיסי בתאוריה של אלגברות בנך, שזכה להכללות רבות. על שמם של ישראל גלפנד וסטניסלב מזור (Stanisław Mazur).

לפי המשפט, כל אלגברת חילוק (אסוציאטיבית) נורמית מעל שדה המספרים הממשיים היא אחת מבין האלגברות $\ \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H}$ (ממשיים, מרוכבים, קווטרניונים). זוהי הכללה של משפט פרובניוס, שלפיו כל אלגברת חילוק מממד סופי מעל הממשיים היא אחת מהנ"ל.

למשפט גלפנד-מזור כמה הוכחות, שאחדות מהן מבוססות על כך שהספקטרום של אבר באלגברת בנך (מרוכבת) הוא תמיד קבוצה קומפקטית לא ריקה, או גרסאות של עובדה זו עבור אלגברות בנך ממשיות.

הכללות

כל אלגברת חילוק אסוציאטיבית A מעל הממשיים היא אחת מבין האלגברות $\ \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H}$ אם מניחים אחד מהבאים:

• ל-A ממד סופי (משפט פרובניוס);
• מוגדרת על A סמי-נורמה תת-כפלית;
• A היא תמונה של אלגברה נורמית, או שהיא ניתנת לשיכון לתוך אלגברה נורמית.

כל אלגברה נורמית ממשית היא אחת מבין האלגברות $\ \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H}$, אם מניחים אחד מהבאים:

• באלגברה אין מחלקי אפס טופולוגיים (משפט Kaplansky).
• A היא אלגברת בנך עם יחידה, שבה הנורמה מקיימת $\ \|x^{-1}\|\leq \|x\|^{-1}$ לקבוצה פתוחה של איברים הפיכים x (משפט Aupetit).
• A היא אלגברת בנך ללא מחלקי אפס, ובנוסף מתקיים אחד הבאים:
  • לאלגברה יש נורמה אוניפורמית יחידה.
  • לאלגברה יש יחידה והיא אלגברית.
  • לאלגברה יש יחידה והיא נתרית.
  • לאלגברה יש יחידה, היא תחום פריקות יחידה (לא קומוטטיבי), והאידיאל הנוצר על ידי כל איבר ראשוני הוא סגור.
• הנורמה מושרית על ידי מכפלה פנימית, ובנוסף מתקיים אחד הבאים:
  • הנורמה המושרית היא אוניפורמית.
  • לאלגברה יש יחידה, והנורמה המושרית מן המכפלה הפנימית מקיימת $\ \|1\|=1$ ו-$\ \|x^{2}\|\leq \|x\|^{2}$.
  • לאלגברה יש אינוולוציה, והנורמה המושרית מקיימת $\ \|x^{*}x\|=\|x\|^{2}$.
  • לאלגברה יש אינוולוציה ואיבר יחידה, הנורמה המושרית מקיימת $\ \|1\|=1$ ו-$\ \|x^{*}x\|\leq \|x\|^{2}$, ואין בה איברים איזוטרופיים ($\ x^{*}x=0$).

אלגברה אלטרנטיבית ממשית היא אחת מבין האלגברות $\ \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O}$ אם מניחים אחד מהבאים:

• האלגברה נורמית ואין בה מחלקי אפס טופולוגיים;
• אם האלגברה עם יחידה, והיא מרחב מכפלה פנימית שהנורמה המושרית בו מקיימת $\ \|1\|=1$ ו-$\ \|x^{2}\|\leq \|x\|^{2}$.

את משפט פרובניוס מכליל משפט Bott-Milnor, שלפיו כל אלגברה לא אסוציאטיבית ממשית מממד סופי עם חילוק היא אחת מבין האלגברות $\ \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O}$.

לקריאה נוספת

• S.J. Bhatt, S.H. Kulkarni, Gelfand-Mazur Theorems in normed algebras: A survey, Expo. Math. (2017). [1]