משפט גלפנד-מזור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט גלפנד-מזור הוא משפט בסיסי בתאוריה של אלגברות בנך, שזכה להכללות רבות. על שמם של ‏ישראל גלפנד וסטניסלב מזור (Stanisław Mazur).

לפי המשפט, כל אלגברת חילוק (אסוציאטיבית) נורמית[1] מעל שדה המספרים הממשיים היא אחת מבין האלגברות (ממשיים, מרוכבים, קווטרניונים). זוהי הכללה של משפט פרובניוס, שלפיו כל אלגברת חילוק מממד סופי מעל הממשיים היא אחת מהנ"ל.

למשפט גלפנד-מזור כמה הוכחות, שאחדות מהן מבוססות על כך שהספקטרום של אבר באלגברת בנך (מרוכבת) הוא תמיד קבוצה קומפקטית לא ריקה, או גרסאות של עובדה זו עבור אלגברות בנך ממשיות.

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

כל אלגברת חילוק אסוציאטיבית A מעל הממשיים היא אחת מבין האלגברות אם מניחים אחד מהבאים:

  • ל-A ממד סופי (משפט פרובניוס);
  • מוגדרת על A סמי-נורמה תת-כפלית;
  • A היא תמונה של אלגברה נורמית, או שיש לה תמונה נורמית.

כל אלגברה נורמית ממשית היא אחת מבין האלגברות , אם מניחים אחד מהבאים:

  • באלגברה אין מחלקי אפס טופולוגיים[2] (משפט Kaplansky).
  • A היא אלגברת בנך עם יחידה, שבה הנורמה מקיימת לקבוצה פתוחה של איברים הפיכים x (משפט Aupetit).
  • A היא אלגברת בנך ללא מחלקי אפס, ובנוסף מתקיים אחד הבאים:
    • לאלגברה יש נורמה אוניפורמית[3] יחידה.
    • לאלגברה יש יחידה והיא אלגברית.
    • לאלגברה יש יחידה והיא נתרית.
    • לאלגברה יש יחידה, היא תחום פריקות יחידה (לא קומוטטיבי), והאידיאל הנוצר על ידי כל איבר ראשוני הוא סגור.
  • הנורמה מושרית על ידי מכפלה פנימית, ובנוסף מתקיים אחד הבאים:
    • הנורמה המושרית היא אוניפורמית.
    • לאלגברה יש יחידה, והנורמה המושרית מן המכפלה הפנימית מקיימת ו-.
    • לאלגברה יש אינוולוציה, והנורמה המושרית מקיימת .
    • לאלגברה יש אינוולוציה ואיבר יחידה, הנורמה המושרית מקיימת ו-, ואין בה איברים איזוטרופיים ().

אלגברה אלטרנטיבית ממשית היא אחת מבין האלגברות אם מניחים אחד מהבאים:

  • האלגברה נורמית ואין בה מחלקי אפס טופולוגיים;
  • אם האלגברה עם יחידה, והיא מרחב מכפלה פנימית שהנורמה המושרית בו מקיימת ו-.

את משפט פרובניוס מכליל משפט Bott-Milnor, שלפיו כל אלגברה לא אסוציאטיבית ממשית מממד סופי עם חילוק היא אחת מבין האלגברות .

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • S.J. Bhatt, S.H. Kulkarni, Gelfand-Mazur Theorems in normed algebras: A survey, Expo. Math. (2017). [1]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ אלגברה נורמית היא מרחב וקטורי (מעל הממשיים או המרוכבים) עם נורמה תת-כפלית.
  2. ^ איבר x הוא מחלק אפס טופולוגי אם יש סדרה y_n של אברים מנורמה 1, כך שהסדרות -xy_n ו-y_nx שואפות לאפס.
  3. ^ נורמה היא אוניפורמית אם לכל x.