משפט דיני

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט דיני הוא משפט מתמטי בתחום האנליזה המתמטית, העוסק בהתכנסות נקודתית של סדרה מונוטונית של פונקציות, או של טור פונקציות אי-שליליות. המשפט נקרא על שמו של אוליסה דיני (Ulisse Dini), מתמטיקאי ופוליטיקאי איטלקי שחי במאה ה-19 ובמאה ה-20. משפט זה הוא דוגמה טובה למקרה בו התכנסות נקודתית, תכונה חלשה יחסית, גוררת התכנסות במידה שווה, שהיא תכונה חזקה הרבה יותר. התכונה נגררת עקב המונוטוניות של סדרת הפונקציות.

ניסוח המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • עבור סדרת פונקציות:
תהי סדרה מונוטונית של פונקציות (כלומר, לכל מתקיים או ) המוגדרות בקטע סגור , רציפות המתכנסות נקודתית ל-, שגם היא רציפה בקטע. אזי ההתכנסות היא במידה שווה.
  • עבור טורי פונקציות:
תהי סדרת פונקציות רציפות אי שליליות, והטור מתכנס נקודתית לסכום שגם הוא פונקציה רציפה, אז ההתכנסות היא במידה שווה.

יש לשים לב כי דרישת הרציפות של הפונקציות וכן של פונקציית הגבול, הכרחית. על מנת להדגים את הכרחיות הדרישה כי פונקציית הגבול תהייה רציפה, ניתן להסתכל על סדרת הפונקציות בקטע . בסדרה זו מתקיים , אך בנקודת הקצה הגבול הוא ולכן פונקציית הגבול אינה רציפה, וקל לראות שההתכנסות איננה התכנסות במידה שווה.