משפט ויטלי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת המידה, משפט ויטלי הוא משפט הקובע כי לכל קבוצה מדידת לבג ממידה חיובית יש תת-קבוצה לא מדידה. ההוכחה מבוססת על בחירת נציג מכל מחלקה של המספרים הרציונליים, ותלויה לכן באקסיומת הבחירה.

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

למה: תהי \ A קבוצה מדידה לבג עם מידה חיובית  \ a = m^*(A) > 0. אז קבוצת ההפרשים  A - A = \{x - y \,|\, x \,, y \in A \} מכילה קטע פתוח לא ריק סביב נקודת האפס.

הוכחה. לפי ההגדרה של מידת לבג, קיימת סדרת קטעים פתוחים זרים  \ I_n המכסה את \ A, עם \ \sum_{n = 0}^{\infty}{ \ m^*\left(I_n\right) } < \left(1 + \frac{1}{3} \right) m^*(A) \ .

נסמן \ A_n = A \cap I_n. אוסף החיתוכים האלה הוא כיסוי של A בקבוצות זרות ומדידות. קיים n עבורו \ |I_n| = m^*\left(I_n\right) <  \frac{4}{3} \ m^*\left(A_n\right), משום שאחרת \  \sum_{n = 0}^{\infty}{ m^*\left(I_n\right) } \ge \frac{4}{3} \sum_{n = 0}^{\infty}{ \ m^*\left(A_n\right) } =  \frac{4}{3} \ m^*\left(A\right) = \frac{4}{3} a, בסתירה לבחירת הקטעים  \ I_n .

נסמן \ I_n = I ,\ A_n = J. אז \ \frac{3}{4} m^*\left(I\right) <   \ m^*\left(J\right) מכיוון ש-\ m^*\left(I_n\right) <  \frac{4}{3} \ m^*\left(A_n\right).

כעת נראה שלכל  |d| < \frac{1}{2} |I|, החיתוך J \cap \left( J + d \right) אינו ריק. אחרת, \ 2 m^*\left(J\right) = m^*\left(J\right) + m^*\left(J + d\right) = m^*\left(J \cup (J+d)\right) \le m^*\left(I \cup (I+d)\right) \le |I| + |d| \le |I| + \frac{1}{2} |I| = \frac{3}{2} |I|  , ומכאן \  m^*\left(J\right) \le \frac{3}{4} |I|  , סתירה.

לכן לכל d כנ"ל, \  d \in J - J = A_n - A_n \subseteq A-A, והקטע  \left(-\frac{1}{2} |I| \,, \frac{1}{2} |I| \right) כולו מוכל בהפרש \ A-A, כנדרש.

הוכחת המשפט. תהי \ A מדידת לבג עם מידה חיובית. נבחר (באמצעות אקסיומת הבחירה) קבוצה P של נציג אחד מכל מחלקה של חבורת המנה \ \mathbb{R}/\mathbb{Q}. נקבע מספור \ \mathbb{Q} = \{r_1,r_2,\dots\} של המספרים הרציונליים.

נגדיר \ A_n = A \cap (P+r_n), אז \ \bigcup_{n=1}^{\infty}{ A_n} איחוד זר של A, ולכן, אם הקבוצות \ A_n כולן מדידות, אז מתקיים m^*\left(A\right) = \sum_{n=1}^{\infty}{m^*\left(A_n\right)}, ומכאן שיש קבוצה \ A_n עם מידה חיובית. זה סותר את הלמה, משום שההפרש \ A_n - A_n אינו יכול להכיל מספר רציונלי שונה מאפס: אחרת יש x \,, y \in P כך ש (r_n + x) - (r_n + y) = x - y \in \Q, בסתירה לבחירת הקבוצה P.