משתמש:בר/אינטגרציה של פונקציות רציונליות

נאמר שפונקציה היא פונקציה רציונלית אם היא מהצורה ${\frac {P(x)}{Q(x)}}$ כאשר $P(x)$ ו-$Q(x)$ הם פולינומים. אם הפונקציה היא מצורה ${\frac {f'(x)}{f(x)}}$ , או שניתן להגיע לצורה זו באמצעות פעולות אלמנטריות, אז האינטגרל הוא מיידי ומתקיים $\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}=ln|f(x)|+C$. אחרת, נדרש טיפול ארוך יותר כדי להגיע לצורה שממנה ניתן לבצע אינטגרל. ראשית, יש לוודא שדרגת הפולינום $Q(x)$ קטנה ממש מדרגת הפולינום $P(x)$. אם לא, יש לבצע חלוקת פולינומים כדי להגיע לתוצאה הרצויה. לאחר מכן יש לבצע פירוק לשברים חלקיים. בשלב השלישי יופרדו השברים החלקיים, בזכות תכונת הלינאריות של האינטגרל, וכל אחד מהם יחושב בנפרד.

חלוקת פולינומים

לאחר חלוקת הפולינומים מתקבלת פונקציה מהצורה${\frac {p(x)}{q(x)}}=h(x)+{\frac {r(x)}{q(x)}}$.

בשלב זה $\int h(x)$ אינטגרל מיידי ולכן נפריד באמצעות לינאריות: $\int h(x)dx+{\frac {r(x)}{q(x)}}=\int h(x)dx+\int {\frac {r(x)}{q(x)}}dx$

וכעת עלינו לפתור רק את $\int {\frac {r(x)}{q(x)}}dx$ כאשר בהכרח, דרגת $r(x)$ קטנה ממש מדרגת הפולינום $q(x)$.

פירוק לשברים חלקיים

כאמור, בשלב זה דרגת $r(x)$ קטנה ממש מדרגת הפולינום $q(x)$. כעת ניתן לפרק את ${\frac {r(x)}{q(x)}}dx$ לשברים חלקיים. באמצעות מכנה משותף והשוואה לפונקציה המקורית, ניתן למצוא את המקדמים.

חישוב האינגטרלים של השברים החלקיים

כעת ניתן להפריד בין השברים החלקיים, בזכות תכונת הלינאריות של האינטגרל, ובכך לחשב כל אינטגרל בנפרד. לשלב זה יש שלוש אפשרויות, שלכל אחת מהן שיטת פתרון שונה.

מכנה פריק

ללא ריבוי

עבור אינטגרל מהצורה $\int {\frac {A}{(x-a)^{n}}}dx$ בו המכנה פריק, ניתן להשתמש בשיטת ההצבה, כאשר נבחר $t=x-a$ ונגיע לאינטגרל מיידי.

עם ריבוי

עבור אינטגרל מהצורה $\int {\frac {Ax+B}{(x-a)^{n}}}dx$ נפרק כך $\int {\frac {\alpha _{1}}{x-a}}+\cdots +{\frac {\alpha _{n}}{(x-a)^{n}}}dx$, נחשב את המקדמים $\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$ ובאמצעות ליניאריות נחשב כל אחד מהם בנפרד.

מכנה אי־פריק

מונה קבוע

במקרה הראשון, בו האינטגרל מהצורה $\int {\frac {A}{(x^{2}+bx+c)^{n}}}$ נבצע השלמה לריבוע. בכך יתקבל אינטגרל מהצורה $\int _{}^{}{\frac {A}{\left(\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4}}\right)\right)^{n}}}$ כעת, בעזרת הצבה מתקבל אינטגרל מיידי אותו ניתן לפתור באמצעות הנוסחה $\int {\frac {1}{x^{2}+a^{2}}}dx={\frac {A}{a^{2}}}\arctan \left({\tfrac {x}{a}}\right)+C$.

מונה עם פולינום שאינו קבוע

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו.

במקרה השני, בו האינטגרל מהצורה $\int {\frac {Bx+C}{(x^{2}+bx+c)^{n}}}$

קישורים חיצוניים

• אינטגרלים - 9 - אינטגרל של פונקציה רציונלית, סרטון בערוץ "Technion", באתר יוטיוב (אורך: 11:39)
• אינטגרלים - 15 - אינטגרל של פונקציה רציונלית - סיכום, סרטון בערוץ "Technion", באתר יוטיוב (אורך: 05:57)
• אינטגרל של פונקציה רציונלית א' - הקדמה ודוגמה, סרטון בערוץ "הטכניון מלמדים - TECHNION TEACHES", באתר יוטיוב (אורך: 06:43)
• אינטגרל של פונקציה רציונלית א' - גורמים לינארים שונים, סרטון בערוץ "הטכניון מלמדים - TECHNION TEACHES", באתר יוטיוב (אורך: 05:30)
• אינטגרל של פונקציה רציונלית א' - גורם לינארי עם ריבוי, סרטון בערוץ "הטכניון מלמדים - TECHNION TEACHES", באתר יוטיוב (אורך: 04:28)
• אינטגרל של פונקציה רציונלית ב' - גורם ריבועי אי פריק - השלמה לריבוע, סרטון בערוץ "הטכניון מלמדים - TECHNION TEACHES", באתר יוטיוב (אורך: 08:53)
• אינטגרל של פונקציה רציונלית ב' - גורם ריבועי אי פריק - השלמה לנגזרת, סרטון בערוץ "הטכניון מלמדים - TECHNION TEACHES", באתר יוטיוב (אורך: 05:04)
• אינטגרל של פונקציה רציונלית ב' - גורם לינארי וגורם ריבועי אי-פריק, סרטון בערוץ "הטכניון מלמדים - TECHNION TEACHES", באתר יוטיוב (אורך: 05:45)
• ארז שיינר מציג - אינטגרל על פונקציה רציונאלית, סרטון בערוץ "Erez Sheiner", באתר יוטיוב (אורך: 26:19)