משתמש:Avneref/מתמטיקה/אינטגרלים

אינטגרלים שימושיים

(List of integrals of trigonometric functions)

$\int \cos ^{2}(x)\,dx={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4}}\sin(2x)+C={\frac {1}{2}}[x+\sin(x)\cos(x)]$

$\int \sin ^{2}(x)\,dx={\frac {1}{2}}[x-\sin(x)\cos(x)]$

$\int \sin ^{3}(x)\,dx={\frac {1}{4}}[{\frac {\cos(3x)}{3}}-3\cos(x)]$

גאומטריה

שטח פני כדור

נצייר על פני הכדור דיסקה מקבילה למישור xy, שגובהה (באלכסון!) הוא ds. כל נקודה P בהיקף הדיסקה מחוברת למרכז הכדור O באמצעות הרדיוס R, היוצר עם ציר ה-z זוית $\angle PON=\theta$, כש-N הוא "הקוטב הצפוני" של הכדור; $ds=R\cdot d\theta$.

היקף הדיסקה: $2\pi r=2\pi R\sin(\theta )$

שטח הדופן של הדיסקה: $2\pi r\cdot ds=2\pi R\sin(\theta )\cdot R\cdot d\theta$

שטח פני הכדור: $S=\int _{0}^{\pi }2\pi R^{2}\sin(\theta )\cdot d\theta =$

$=2\pi R^{2}\cdot [-\cos(\theta )]|_{0}^{\pi }=-2\pi R^{2}\cdot (-1-1)=4\pi R^{2}$

נפח כדור

נצייר על פני הכדור דיסקה, שגובהה הוא: $dh=ds\cdot \sin(\theta )=R\cdot d\theta \cdot \sin(\theta )$.

שטח הדיסקה: $\pi r^{2}=\pi [R\sin(\theta )]^{2}$

נפח הדיסקה: $\pi r^{2}\cdot dh=\pi R^{2}\sin ^{2}(\theta )\cdot R\cdot d\theta \cdot \sin(\theta )$

נפח הכדור: $V=\pi R^{3}\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}(\theta )\cdot d\theta =$

$={\frac {\pi R^{3}}{4}}\cdot [{\frac {\cos(3\theta )}{3}}-3\cos(\theta )]|_{0}^{\pi }={\frac {\pi R^{3}}{4}}\cdot [-{\frac {2}{3}}+6]={\frac {4}{3}}\pi R^{3}$

ממוצעים

בחישוב גדלים גאומטריים (שטח או נפח), התוצאה תלויה ברדיוס R; בחישוב ממוצעים של פונקציות טריגונומטריות, גודל הרדיוס R אינו חשוב, ולכן אפשר לקחת אותו כ-R=1.

ממוצע של סינוס בעיגול

מספיק לחשב על פני רבע מעגל:

$\langle \sin(\theta )\rangle ={\frac {\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(\theta )d\theta }{\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\theta }}={\frac {-\cos(\theta )|_{0}^{\frac {\pi }{2}}}{\frac {\pi }{2}}}={\frac {-(0-1)}{\frac {\pi }{2}}}={\frac {2}{\pi }}$

ממוצע של סינוס בריבוע, בעיגול

אפשר לחשב על פני רבע מעגל; נחשב על חצי מעגל:

$\langle \sin ^{2}(\theta )\rangle ={\frac {\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}(\theta )d\theta }{\pi }}={\frac {1}{\pi }}\cdot [{\frac {\theta }{2}}-{\frac {\sin(2\theta )}{4}}]|_{0}^{\pi }={\frac {1}{\pi }}({\frac {\pi }{2}}-0-0+0)={\frac {1}{2}}$

ממוצע של קוסינוס בריבוע, על כדור

ככל ש-θ גדלה, כך יש "יותר קווים" של (cos(θ (לאורך היקף המעגל שרדיוסו (sin(θ), ומידת ה"יותר" היא בהתאם להיקף המעגל. ההיקף: $2\pi \sin(\theta )$, ולכן לכל θ צריך לקחת את $cos^{2}(\theta )$, להכפיל בהיקף המעגל, לסכם על כל ה-θ, ובסוף לחלק ב"מספר הכולל של קווים שלקחנו", שהוא: שטח פני כדור שרדיוסו R=1, או: S=4π.
מכיוון שמסכמים את כל האברים האלה על פני שינוי ב-θ, אז כל סכום הוא טור אינסופי מוכפל ב-Δθ; הממוצע המבוקש הוא מנת שניהם:

$\langle \cos ^{2}(\theta )\rangle =\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{n}\cos ^{2}(\theta _{i})\sin(\theta _{i})\Delta \theta }{\sum _{i=1}^{n}2\pi \sin(\theta _{i})\Delta \theta }}={\frac {2\pi \int _{0}^{\pi }\cos ^{2}(\theta )\sin(\theta )d\theta }{2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(\theta )d\theta }}=$

$={\frac {2\pi \cdot -{\frac {1}{3}}\cos ^{3}(\theta )|_{0}^{\pi }}{2\pi \cdot -\cos(\theta )|_{0}^{\pi }}}={\frac {-{\frac {2\pi }{3}}[(-1)-1]}{-2\pi [(-1)-1]}}={\frac {\frac {4\pi }{3}}{4\pi }}={\frac {1}{3}}$

דרך אחרת:

$d(\cos(\theta ))=-dh=-1\cdot d\theta \cdot \sin(\theta )$

$\langle \cos ^{2}(\theta )\rangle ={\frac {|\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\cos ^{2}(\theta )d(\cos(\theta )\,)d\phi |}{4\pi }}={\frac {|-2\pi \int _{0}^{\pi }\cos ^{2}(\theta )\sin(\theta )d\theta |}{4\pi }}={\frac {{\frac {4}{3}}\pi }{4\pi }}={\frac {1}{3}}$

ממוצע של סינוס בריבוע, על כדור

$\langle \sin ^{2}(\theta )\rangle =\langle 1-\cos ^{2}(\theta )\rangle =1-\langle \cos ^{2}(\theta )\rangle ={\frac {2}{3}}$