קוסינוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
גרף הפונקציה קוסינוס
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

קוסינוס (מסומן ב-) היא פונקציה טריגונומטרית בסיסית.

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרה בסיסית[עריכת קוד מקור | עריכה]

במשולש זה, קוסינוס הזווית A שווה

בהגדרתה הבסיסית ביותר, פונקציית הקוסינוס מציינת את היחס בין הניצב שליד הזווית ליתר במשולש ישר-זווית, כפונקציה של הזווית שליד הניצב הזה. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 ל-90 מעלות או רדיאנים. משולשים עם זוויות זהות דומים ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הקוסינוס של זווית מוגדר היטב.

הרחבה[עריכת קוד מקור | עריכה]

במעגל היחידה ניתן להסתכל על רדיוס הנמתח מהמרכז לנקודה (x,y) כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שקוסינוס הזווית שבין ציר ה-x לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר ה-x, כלומר שיעור ה-x של הנקודה (x,y). עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הקוסינוס לכל מספר ממשי: הקוסינוס של מספר הוא שיעור ה-x של הנקודה על מעגל היחידה שהזווית בין הרדיוס הנמתח אליה לציר ה-x הוא (ברדיאנים).

טור טיילור[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הקוסינוס באמצעות טור טיילור:

ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של קוסינוס על ידי גזירה חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע קירוב קוסינוס לזוויות קטנות: , מכיוון שכאשר x קטן החזקה הרביעית שלו (לפעמים אפילו השנייה) וחזקות גבוהות יותר זניחות.

הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הקוסינוס גם למספרים מרוכבים. באמצעות נוסחת אוילר אפשר לקבל הגדרות נוספות לקוסינוס:

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • פונקציית הקוסינוס היא זוגית, משום שמתקיים .
  • פונקציית הקוסינוס היא מחזורית בעלת מחזור של . זאת משום שסיבוב של מחזיר אותך לנקודת המוצא.
  • פונקציית הקוסינוס רציפה, גזירה ואינטגרבילית לכל . לפונקציה אינסוף נקודות קיצון מהצורה (מקסימום) ו- (מינימום), כאשר מספר שלם. הערך במקסימום הוא 1 ובמינימום -1.
  • לפנוקציה אינסוף שורשים מהצורה , כאשר מספר שלם.
  • התמונה של הפונקציה היא .

נגזרת[עריכת קוד מקור | עריכה]

הנגזרת של פונקציית הקוסינוס היא מינוס פונקציית הסינוס:

זאת כיוון שהנגזרת של פונקציית הסינוס היא קוסינוס (ראו הוכחה כאן) ובעזרת כלל השרשרת מקבלים:

.

מכאן נובעת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הקוסינוס בעזרת משוואה דיפרנציאלית:

פונקציית הקוסינוס היא פתרון המשוואה כאשר ו-.[1]

הפונקציה הקדומה של הקוסינוס היא סינוס:

ערכים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערכי הפונקציה לזוויות שונות על מעגל היחידה

להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זוויות נפוצות:

x (זווית) cos x
מעלות רדיאנים גראדים במדויק קירוב עשרוני
0 0g 1 1
15° 162/3g 0.965925826289068
30° 331/3g 0.866025403784439
45° 50g 0.707106781186548
60° 662/3g 0.5
75° 831/3g 0.258819045102521
90° 100g 0 0

זהויות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – זהויות טריגונומטריות
  • פונקציית הקוסינוס מקיימת: וכן
  • בעזרת פונקציית הקוסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): , , , ,
  • סכום זוויות:
  • זווית כפולה: , ובאופן כללי
  • חצי זווית:
  • סכום קוסינוסים: ,

הפונקציה ההפוכה[עריכת קוד מקור | עריכה]

גרף הפונקציה ארכקוסינוס

הפונקציה ההפוכה לפונקציית הקוסינוס נקראת ארכקוסינוס ומסומנת או . הפונקציה מוגדרת לערכים שבקטע , וכיוון שפונקציית הקוסינוס אינה חד-חד-ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים . הנגזרת שלה היא .

משפט הקוסינוסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים הוא הכללה של משפט פיתגורס, והוא קובע את הקשר בין צלעות המשולש ואחת מזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הקוסינוס. המשפט הוא:

כאשר a, b, c הן צלעות המשולש ו- נמצאת מול הצלע c.

כאשר זווית c ישרה, ומתקבל משפט פיתגורס.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא קוסינוס בוויקישיתוף

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]