משתמש:Galipaz/צבר גראנד קנוני

במכניקה סטטיסטית, צבר גראנד קנוני הוא צבר שמייצג את כל המצבים האפשריים עבור מערכת הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי (תרמי וכימי) עם אמבט חום וחלקיקים. המערכת נמצאת במגע תרמי ודיפוזיוני עם האמבט, ולכן אנרגיה וחלקיקים יכולים לעבור ביניהם. לפיכך, המצבים האפשריים שבהם נמצאת המערכת שונים זה מזה באנרגיה ובמספר החלקיקים. הנפח של המערכת נשאר קבוע ולא משתנה בין מצבים שונים של המערכת. צבר זה עוזר בטיפול במערכות פיזיקליות בהן חלקיקים ואנרגיה יכולים לצאת ולהיכנס דרך קירות המערכת.

המערכת הכוללת של האמבט והמערכת הינה מערכת סגורה ולכן האנרגיה ומספר החלקיקים הכולל נשארים קבועים. במערכת שנמצאת במגע עם האמבט, אשר מעתה תיקרא מערכת A, גם מספר החלקיקים וגם האנרגיה מבצעים תנודות סביב ערך שיווי המשקל.

המגע התרמי בין מערכת A לאמבט מבטיח כי הטמפרטורות שלהם יהיו שוות במצב של שיווי משקל תרמודינמי. כמו כן, בשיווי משקל, המגע הדיפוזיוני מבטיח שהפוטנציאל הכימי שלהם יהיה שווה. ההנחה תחתיה בונים את המערכת הכוללת היא שהאמבט גדול ממש מהמערכת A, ולכן גם אם חום או מספר חלקיקים עוברים בין המערכת A לאמבט, הדבר זניח ביחס לחום ומספר החלקיקים שיש באמבט. כלומר, גם אם יש שינוי קטן במספר החלקיקים באמבט כתוצאה מהמעבר בינו לבין המערכת A, הפוטנציאל הכימי שלו לא משתנה. אותו דבר נכון גם לגבי טמפרטורת האמבט, במעבר של חום בין המערכות.

המשתנים התרמודינמיים של צבר גראנד קנוני הם הפוטנציאל הכימי (מסומן ב-$\mu$) והטמפרטורה (מסומן ב-T). הצבר תלוי גם בנפח (מסומן ב-V), אשר משפיע על המצבים הפנימיים של המערכת. לכן, הצבר נקרא לפעמים ״צבר $\mu VT$״, שכן כל אחד משלושת הגדלים הללו הוא קבוע של הצבר.

הסתברות למצב מיקרוסקופי מסוים

הצבר הגראנד קנוני הוא הכללה של הצבר הקנוני, כאשר אין הגבלה על מספר קבוע של חלקיקים. בצבר הקנוני, פקטור בולצמן מייצג את יחס ההסתברויות להימצאות המערכת במצב אנרגטי $E_{1}$ לעומת מצב אנרגטי $E_{2}$, כאשר היא נמצאת במגע תרמי עם אמבט חום בטמפרטורה T כלשהי. פקטור גיבס מהווה הכללה לכך עבור מערכת שנמצאת במגע תרמי ודיפוזיוני עם אמבט בטמפרטורה T ופוטנציאל כימי $\mu$. כלומר, הוא מייצג את יחס ההסתברויות להימצאות המערכת במצב אנרגטי $E_{1}$ ומספר חלקיקים $N_{1}$ לעומת מצב אנרגטי $E_{2}$ ומספר חלקיקים $N_{2}$, כאשר היא נמצאת במגע עם אמבט חום וחלקיקים.

על מנת לקבל את ההסתברות למצב מיקרוסקופי של המערכת, עם אנרגיה ומספר חלקיקים מסוימים, נרצה לבחון העתקים של המערכת הכוללת - אחד לכל מצב מיקרוסקופי זמין. מתוך כל הקבוצה הזו, ניתן לבדוק מה ההסתברות למצוא העתק כך שלמערכת יש N חלקיקים ו-$E_{s}$ אנרגיה. המצב הקוונטי $s$ תלוי במספר החלקיקים שיש במערכת A ולכן האנרגיה היא $E_{s(N)}$. נגדיר את $P(N,E_{s})$ להיות ההסתברות לבחירת העתק במצב זה ונקבל שהיא פרופורציונית לפקטור גיבס:

$P(N,E_{s})\varpropto \exp {\Bigl (}{\mu N-E_{s(N)} \over \tau }{\Bigr )}$

פונקציית החלוקה הגראנד קנונית

פונקציית החלוקה עבור הצבר הגראנד קנוני, הנקראת גם סכום גיבס, היא הסכימה של פקטורי גיבס על פני כל המצבים המיקרוסקופיים הזמינים של המערכת A. כלומר, נרצה לסכום על פני כל מספרי החלקיקים האפשריים, ועבור כל מספר חלקיקים לסכום על פני כל האנרגיות הזמינות $E_{s(N)}$:

$\zeta (\mu ,\tau )=\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{s(N)}\exp {\Bigl (}{\mu N-E_{s(N)} \over \tau }{\Bigr )}$

פונקציית החלוקה היא פקטור הנרמול מהסתברות יחסית להסתברות אבסולוטית. כלומר, ההסתברות האבסולוטית לכך שהמערכת תימצא במצב $\{N_{1},E_{1}\}$ היא החלוקה של פקטור גיבס בפונקציית החלוקה הגראנד קנונית:

$P(N_{1},E_{1})={\exp[({\mu N_{1}-E_{1})/\tau }] \over \zeta }$

תכונות הצבר

• יחידות: צבר גראנד קנוני נקבע ביחידות עבור מערכת נתונה עם טמפרטורה ופוטנציאל כימי מסוימים, ואינו תלוי בבחירות שרירותיות כמו בחירת מערכת קואורדינטות (במכניקה קלאסית) או בסיס (במכניקת הקוונטים).
• שיווי משקל תרמי וכימי עם מערכות אחרות: שתי מערכות המתוארות על ידי צבר גראנד קנוני בטמפרטורה ופוטנציאל כימי שווים אשר יובאו למגע תרמי ודיפוזיוני זו עם זו לא ישתנו. המערכת הכוללת החדשה של שתי המערכות הללו תתואר גם כן על ידי צבר גראנד קנוני עם אותה טמפרטורה ואותו פוטנציאל כימי כמו של כל מערכת לפני המגע.
• מקסימום אנטרופיה: במצב של שיווי משקל, האנטרופיה של הצבר (של המערכת הכוללת הסגורה) תהיה המקסימלית האפשרית בהינתן אנרגיה ומספר חלקיקים מסוימים.
• מינימום פוטנציאל גראנד קנוני: במצב של שיווי משקל, הפוטנציאל הגראנד קנוני של המערכת A, המוגדר על ידי $\Phi =U-TS-\mu N$, יהיה המינימלי האפשרי בהינתן אנרגיה ומספר חלקיקים.

הוכחה:

האנטרופיה הכוללת של המערכת הינה סכום האנטרופיה של האמבט (אשר תסומן $\sigma _{R}$) והאנטרופיה של המערכת A (אשר תסומן $\sigma _{A}$). נניח כי במערכת הכוללת יש $N$ חלקיקים ו-$U$ אנרגיה. עוד נניח כי במערכת A יש $N_{A}$ חלקיקים ו-$E_{A}$ אנרגיה, אז באמבט יש $N-N_{A}$ חלקיקים ו-$U-E_{A}$ אנרגיה. מההנחה כי האמבט גדול ממש מהמערכת A, ניתן להסיק כי מתקיים $E_{R}=U-E_{A}\cong U$ וכמו כן $N_{R}=N-N_{A}\cong N$. לכן, נוכל לפתח את האנטרופיה של האמבט סביב נקודות אלו ונקבל:

$\sigma _{R}=\sigma _{R}(U,N)-E_{A}{\Bigl (}{\partial \sigma _{R} \over \partial U}{\Bigr )}_{V,N}-N_{A}{\Bigl (}{\partial \sigma _{R} \over \partial N}{\Bigr )}_{V,U}$

נשתמש בזהויות התרמודינמיות:

${\Bigl (}{\partial U \over \partial \sigma }{\Bigr )}_{V,N}=\tau$

${\Bigl (}{\partial \sigma \over \partial N}{\Bigr )}_{V,U}={\mu \over \tau }$

ונקבל:

$\sigma _{R}=\sigma _{R}(U,N)-{E_{A} \over \tau }-{\mu N_{A} \over \tau }$

לכן, את האנטרופיה הכוללת של המערכת נוכל לבטא כך:

$\sigma _{tot}=\sigma _{R}(U,N)-{\Bigl (}{E_{A}-\tau \sigma _{A}-\mu N_{A} \over \tau }{\Bigr )}=\sigma _{R}(U,N)-{\Phi _{A}(\mu ,T,V) \over \tau }$

מכיוון שהאנטרופיה של האמבט קבועה, כדי שהאנטרופיה הכוללת תהיה מקסימלית, הערך של פונקציית הפוטנציאל הגראנד קנוני של המערכת A צריך להיות מינימלי.

צברים לדוגמה

השימושיות של הצבר הגראנד קנוני בניתוח מערכות פיזיקליות תוצג במערכות הבאות. בכל דוגמה, נשתמש בקשר המיקרוסקופי-מאקרוסקופי בין פונקציית החלוקה הגראנד קנונית לפונקציית הפוטנציאל הגראנד קנוני:

$\Phi =-k_{B}T\ln(\zeta )=-k_{B}T\ln {\Bigl (}\sum _{microstates}e^{\mu N-E \over \tau }{\Bigr )}$

גזים קוונטים - גז פרמי וגז בוז

הגזים הקוונטים הללו מתארים מערכת של חלקיקים ללא אינטרקציה. מאחר שאין בין החלקיקים אינטרקציה, ניתן לחשב את המצבים הקוונטים בהם יכול להימצא חלקיק גז בודד. נסתכל על כל מצב קוונטי כזה כעל מערכת תרמודינמית נפרדת, כך שבעצם כל מצב קוונטי הוא צבר גראנד קנוני בעצמו. מספר משתנה של חלקיקים יכולים לאכלס מצב קוונטי מסוים, ולכל חלקיק שמאכלס מצב מסוים תהיה אותה אנרגיה. לכן, אם נסתכל על המצב הקוונטי $i$, אז האנרגיה תלויה בכמות החלקיקים המאכלסים אותו $N$ ובאנרגיה המתאימה לאותו מצב קוונטי $E_{i}$ כך שמתקיים $E_{i}(N)=N\cdot E_{i}$

פונקציית החלוקה משתנה בין גז פרמי לגז בוז, כתלות בתכונות החלקיקים המרכיבים אותם, ולכן גם פונקציית הפוטנציאל הגראנד קנוני משתנה. את ערך פונקציית הפוטנציאל הגראנד קנוני הכולל של כל המערכת נוכל למצוא על ידי חיבור של ערכי $\Phi _{i}$ של כל המצבים הקוונטים הזמינים במערכת.

גז פרמיונים

פרמיונים הם חלקיקים בעלי ספין חצי שלם ועל פי עיקרון האיסור של פאולי, שני פרמיונים לא יכולים להימצא באותו מצב קוונטי. לכן, עבור כל מצב קוונטי זמין במערכת החלקיקים, האכלוס יכול להיות אפס או חלקיק אחד, ולא יותר. כלומר, פונקציית החלוקה של מצב קוונטי $i$ הינה:

$\zeta _{i}=1+e^{\mu -E_{i} \over \tau }$

והפוטנציאל הגראנד קנוני:

$\Phi _{i}=-k_{B}T\ln {\Bigl (}1+e^{\mu -E_{i} \over \tau }{\Bigr )}$

באמצעות פונקציית החלוקה הגראנד קנונית של מצב קוונטי מסוים, ניתן למצוא את מספר החלקיקים הממוצע המאכלס אותו על ידי הקשר $<N_{i}>=-{\Bigl (}{\partial \Phi \over \partial \mu _{i}}{\Bigr )}_{T,v}$. עבור גז פרמיונים, מתקבלת התפלגות פרמי-דיראק.

גז בוזונים

בוזונים הם חלקיקים בעלי ספין שלם, ובניגוד לפרמיונים, אין הגבלה על מספר הבוזונים שיכולים לאכלס מצב קוונטי מסוים. לכן, עבור מצב קוונטי זמין $i$ במערכת החלקיקים, האכלוס יכול להיות כל מספר אי שלילי, ופונקציית החלוקה הינה:

$\zeta _{i}=\sum _{N=1}^{\infty }e^{\mu N-E_{i}N \over \tau }=\sum _{N=1}^{\infty }{\Bigl (}e^{\mu -E_{i} \over \tau }{\Bigr )}^{N}={1 \over 1-\exp([\mu -E_{i}]/\tau )}$

כאשר המעבר האחרון נעשה תוך שימוש בסכום של טור הנדסי מתכנס.

מכך מתקבל הפוטנציאל הגראנד קנוני:

$\Phi _{i}=k_{B}T\ln {\Bigl (}1-e^{\mu -E_{i} \over \tau }{\Bigr )}$

מחישוב מספר החלקיקים הממוצע המאכלס כל מצב קוונטי עבור גז בוזונים מתקבלת התפלגות בוז-איינשטיין.