משתמש:Nomadbl/חשבוןוריאציות

חשבון וריאציות הנו שיטת אופטימיזציה, שפותחה בשלהי המאה ה־17 על ידי ניוטון, האחים יוהאן ויעקב ברנולי, לייבניץ, ומאוחר יותר על ידי לופיטל, אוילר, לגראנז' ואחרים. ניתן לראות שיטה זו כהכללה של פעולת הנגזרת עבור פונקציונלים.

נביא את הבעיה המתמטית לצורה הבאה:

$\ S=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L(y(x),{\frac {dy}{dx}},x)\,\mathrm {d} x$

עם תנאי השפה:

${\begin{cases}y(x_{1})=y_{1}\\y(x_{2})=y_{2}\end{cases}}$

מטרתנו היא למצוא את הפונקציה $y(x)$ אשר תביא את הפונקציונל לאקסטרמום.

מציאת הפונקציה המבוקשת מתבצעת על ידי פיתרון משוואת אוילר־לגראנז':

${\frac {d}{dx}}({\frac {\partial L}{\partial ({\frac {\partial y}{\partial x}})}})-{\frac {\partial L}{\partial y}}=0$

דריבציה

נניח שקיים אקסטרמום לפונקציונל ושהפונקציה אשר מביאה אליו היא $y_{0}(x)$ . נוכל לבטא כל פונקציה בצורה $y(x)=y_{0}(x)+\epsilon \times \eta (x)$

כאשר $\eta (x)$ היא פונקציה כלשהיא ובעלת תנאי השפה

$\eta (x_{1})=\eta (x_{2})=0$

כך ש$y(x)$ מקיימת את תנאי השפה

$\epsilon$ הינו מספר ממשי כלשהו.

נשים לב שתחת הנחותינו מתקיים: $S=S(\eta (X),{\frac {d\eta }{dx}},\epsilon )$ ויותר מכך, מתקיים: ${\frac {dS}{d\epsilon }}_{\epsilon =0}=0$

נפתח את הביטוי למקסימה של הפונקציונל: ${\frac {dS}{d\epsilon }}_{\epsilon =0}={\frac {\partial S}{\partial y}}_{\epsilon =0}*{\frac {\partial y}{\partial \epsilon }}+{\frac {\partial S}{\partial {\frac {dy}{dx}}}}_{\epsilon =0}*{\frac {\partial {\frac {dy}{dx}}}{\partial \epsilon }}={\frac {\partial S}{\partial y_{0}}}*\eta +{\frac {\partial S}{\partial {\frac {dy_{0}}{dx}}}}*{\frac {d\eta }{dx}}$

מכיוון שגבולות האינטגרל בפונקציונל אינם תלויים בε נוכל להחליף את סדר הגזירה והאינטגרציה. לאחר מכן נשתמש באינטגרציה בחלקים ונקבל:

${\frac {dS}{d\epsilon }}_{\epsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial L}{\partial y_{0}}}*\eta +{\frac {\partial L}{\partial {\frac {y_{0}}{dx}}}}*{\frac {d\eta }{dx}}\,\mathrm {d} x=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial L}{\partial y_{0}}}*\eta +{\frac {\partial L}{\partial {\frac {dy_{0}}{dx}}}}*{\frac {d\eta }{dx}}\,\mathrm {d} x=\int _{x_{1}}^{x_{2}}({\frac {\partial L}{\partial y_{0}}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial {\frac {dy_{0}}{dx}}}})*\eta \,\mathrm {d} x+{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial {\frac {dy_{0}}{dx}}}}*\eta |_{x_{1}}^{x_{2}}$

נזכור כי בנקודות הקצה הפונקציה השרירותית מתאפסת ולכן האיבר האחרון מתאפס. נקבל: ${\frac {dS}{d\epsilon }}_{\epsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}({\frac {\partial L}{\partial y_{0}}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial {\frac {dy_{0}}{dx}}}})*\eta \,\mathrm {d} x=0$

נשים לב כי גבולות האינטגרל שרירותיים, ולכן האינטגרנט חייב להתאפס. מכיוון שη היא פונקציה שרירותית ובאופן כללי שונה מפונקציית האפס, נקבל כי: ${\frac {\partial L}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial {\frac {dy}{dx}}}}=0$ וזו ידועה כמשוואת אוילר־לגראנז'.

הכללות

ניתן לקבל בקלות את משוואת אוילר לגרנג' באותה שיטה גם למקרים הבאים:

• פונקציונל של N פונקציות $q_{\!i}(t)$

${\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\frac {dq_{i}}{dt}}}}=0$ זהו סט של N משוואות, המתקיימות לכל הפונקציות $q_{\!i}(t)$

• פונקציונל של פונקציות הפועלות על מרחב ווקטורי $\xi ({\vec {r}})$

${\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial {\frac {\partial \xi }{\partial x}}}}+{\frac {d}{dy}}{\frac {\partial L}{\partial {\frac {\partial \xi }{\partial y}}}}+{\frac {d}{dz}}{\frac {\partial L}{\partial {\frac {\partial \xi }{\partial z}}}}-{\frac {\partial L}{\partial \xi }}=0$

דוגמאות

דוגמה פשוטה לפונקציונל, מתחום האופטיקה, היא הזמן שלוקח לקרן לעבור בין שתי נקודות דרך מסלול כלשהו במרחב. המסלול במקרה זה מיוצג על ידי $\ {\vec {f}}(s)=(x(s),y(s),z(s))$ כאשר $\ (x,y,z)$ הן קואורדינטות ו-$\ s$ הוא פרמטר כלשהו המגדיר את המיקום לאורך המסלול, למשל אורך הקשת או הקואורדינטה לאורך אחד הצירים. לכן אם מהירות הגל בנקודה $\ {\vec {r}}=(x,y,z)$ במרחב היא $\ c({\vec {r}})$, ו-$\,s$ מיצג את אורך הקשת, אזי זמן המעבר, $\ T$, בין שתי הנקודות נתון בביטוי:

$\ T=\int {\frac {ds}{c\left({\vec {r}}(s)\right)}}$

מכאן ברור שכל מסלול של הקרן נותן, בדרך כלל, ערך שונה של זמן המעבר $\ T$, וחשבון הווריאציות מאפשר לנו לחשב מהו המסלול עבורו זמן המעבר מינימלי (או באופן מדויק יותר אקסטרמלי), כשם שפעולת הנגזרת מאפשרת למצוא את נקודות האקסטרמום של הפונקציה. לפי עקרון פרמה המסלולים בהם הקרן אמנם עוברת הם המסלולים עבורם $\ T$ מינימלי, ולכן חשבון הווריאציות הנו הדרך לחישוב המסלולים של קרן אור בתווך כלשהו.

דוגמה נוספת, אשר הייתה אחד הזרזים להתפתחות התחום, היא בעיית הברכיסטוכרון (המושג ברכיסטוכרון נגזר מהמילה היוונית ברכיסטוס שפרושה "הקצר ביותר"). הבעיה מוגדרת באופן הבא:

נתון חלקיק בשדה גרביטציה אחיד $\ g$ בכיוון $\ y$. בהנחה שבתחילת דרכו החלקיק נמצא בראשית הצירים במנוחה, מהו המסלול $\ y(x)$ עבורו זמן המעבר לנקודה מרוחקת (נמוכה יותר) הוא מינימלי?

כיוון שהקואורדינטה $\ y$ מציינת את גובה החלקיק, אזי שימור אנרגיה קובע שמהירותו היא $\ v={\sqrt {-2gy}}$. לכן פונקציונל הזמן במקרה זה הנו:

$\ T=\int {\frac {\sqrt {1+({\dot {y}}(x))^{2}}}{\sqrt {-2gy(x)}}}\,dx$

כאשר $\ y(x)$ היא צורת המסלול העובר בין ראשית הצירים והנקודה $\ (x,y)$, ו-$\ {\dot {y}}(x)=dy(x)/dx$.

כמו בשתי הדוגמות לעיל, בעיות רבות בפיזיקה ניתנות לתיאור בעזרת פונקציונל מהצורה:

$\ F[{\vec {f}}(s)]=\int L\left({\vec {f}}(s),{\dot {\vec {f}}}(s)\right)\,ds$

כעת, בהנחה שנמצא מסלול $\ {\vec {f}}_{0}(s)$ עבורו $\ F[{\vec {f}}_{0}(s)]$ מינימלי, אזי שינויים (וריאציות) שרירותיים של המסלול, קטנים מספיק, $\ {\vec {f}}(s)={\vec {f}}_{0}(s)+\delta {\vec {f}}(s)$ לא ישנו את ערך הפונקציונל, בדיוק כפי שתזוזה קטנה מנקודת מינימום של פונקציה אינה משנה את ערכה (עד סדר ראשון בתזוזה). לכן המשוואה הקובעת את צורת המסלול האקסטרמלי היא:

$\ F[{\vec {f}}(s)+\delta {\vec {f}}(s)]-F[{\vec {f}}(s)]=0$

כאשר האפס באגף שמאל משמעותו אבר מסדר שני בווריאציה $\delta {\vec {f}}(s)$. תנאי זה, כפי שכבר הזכרנו, צריך שיתקיים עבור וריאציות שרירותיות, וניתן לבטא אותו בעזרת משוואה דיפרנציאלית הנקראת משוואת אוילר־לגראנז':

$\ {\frac {d}{ds}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {f}}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial {\vec {f}}}}$

משוואות אוילר־לגראנז' הנגזרות מעקרון הפעולה המינימלית שקולות לחוקי ניוטון, ובמקרה של עקרון פרמה הן מגדירות את המסלולים בהם עוברים קרני האור. פתרון משוואות אוילר־לגראנז' עבור בעיית הברכיסטוכרון נותן את עקום הציקלואידה.

[[קטגוריה:אופטימיזציה מתמטית]] [[קטגוריה:אנליזה מתמטית]]