ציקלואידה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
יצירת ציקלואידה
ציקלואידה שנוצרה על ידי מעגל שרדיוסו = 2

ציקלואידה היא צורה גאומטרית המתארת את מסלולה של נקודה קבועה על גבי מעגל המתגלגל (ללא החלקה) על קו ישר. אורך העקומה הוא פי ארבעה מקוטר המעגל שיצר אותה, והשטח הכלוא בינה לבין ציר ה-x הוא פי שלושה משטח המעגל.

ציקלואידה הפוכה היא המסלול שפותר שתי בעיות ידועות העוסקות במציאת עקום גאומטרי תחת השפעת כבידה אחידה (ללא חיכוך): את בעיית הברכיסטוכרון (הזמן הוא הקצר ביותר) וכן את בעיית הטאוטוכרון (הזמן איננו תלוי בנקודת ההתחלה).

משוואות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ציקלואידה העוברת דרך ראשית הצירים, הנוצרת דרך מעגל בעל רדיוס r, ניתנת לתיאור פרמטרי בקואורדינטות קרטזיות על ידי המשוואות:

\ x = r( t - \sin t)
\ y = r( 1 - \cos t)

כאשר t הוא פרמטר ממשי, המייצג את גודל הזווית, הנמדדת ברדיאנים, בה הכדור היוצר את הציקלואידה הסתובב. עבור כל t נתון, מרכז המעגל היוצר את הציקלואידה שוכן ב- x = rt, y = r.

זוהי עקומה רציפה וחלקה (גזירה אינסוף פעמים) בכל מקום פרט לנקודות המפגש עם ציר ה-x, שם היא איננה גזירה. בנקודות בהן היא גזירה מתקיים:

\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r}{y}-1

שטח[עריכת קוד מקור | עריכה]

השטח הכלוא תחת קשת ציקלואידה יחידה, מתקבל מהמשוואות שלמעלה על ידי:

0 \le t \le 2 \pi

השטח הכלוא מתחת לגרף הוא האינטגרל: \begin{align}
  A &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} y \, dx
\end{align}

התוצאה מתקבלת על ידי החלפת משתנים, לפי המשוואות שלמעלה: \frac{dx}{dt} = r(1 - \cos t) , נקבל:

\begin{align}
  A &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} y \, dx = \int_{t=0}^{t=2 \pi} r^2(1 - \cos t)^2 dt 
    &= \left. r^2 \left(\frac{3}{2}t - 2\sin t + \frac{1}{2} \cos t \sin t\right) \right|_{t=0}^{t=2\pi} 
    &= 3 \pi r^2.
\end{align}

קיבלנו כי שטחה של הציקלואידה הוא פי שלושה משטח המעגל היוצר אותה.

תוצאה זו ניתן לקבל גם בעזרת עקרון קאוואליירי (שיטה דומה פותחה על ידי ז'יל פרסון דה רוברוואל).

אורך הקשת[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפיתוח למציאת אורך קשת הציקלואידה הוא:

\begin{align}
  S &= \int_0^{2\pi} \left[\left(\frac{\operatorname d\!y}{\operatorname d\!t}\right)^2 + \left(\frac{\operatorname d\!x}{\operatorname d\!t}\right)^2\right]^\frac{1}{2} \operatorname d\!t 
    &= \int_0^{2\pi} r \sqrt{2 - 2\cos(t)}\, \operatorname d\!t 
    &= \int_0^{2\pi} 2\,r | \sin \frac{t}{2}\ | \operatorname d\!t 
    &= \int_0^{\pi} 4\,r  \sin \frac{t}{2}\,  \operatorname d\!t 
    &= 8\,r.
\end{align}

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.