משתמש:Shaitibber/מישור סיבוב

סיבוב עקומה סביב ציר ה-z

משטח סיבוב הוא משטח המתקבל מסיבוב עקומה סביב ישר (ציר סיבוב) הנמצא על אותו מישור.
לדוגמא, אם נסובב מעגל סביב ישר העובר דרך מרכזו נקבל ספירה, ואילו אם נסובב את המעגל סביב ישר שחיצוני לו, נקבל טורוס.

אופן החישוב

בכדי לקבל ייצוג מתמטי למשטח סיבוב, ניתן להכפיל את הייצוג הפרמטרי של העקומה במטריצת סיבוב.
לדוגמא, אם נרצה ליצור פרבולואיד ע"י סיבוב הפרבולה $\{(x,y,z)|y=x^{2},z=0\}$ מסביב לציר ה-y, נתחיל במציאת פרמטריזציה לפרבולה, שתהיה:
$\gamma (t)=(t,t^{2},0)$ , כאשר $-\infty <t<\infty$

כעת, נכפיל את הפרמטריזציה של הפרבולה במטריצת סיבוב מסביב לציר ה-y:

${\begin{pmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\t^{2}\\0\end{pmatrix}}$

ונקבל שהפרבולואיד המבוקש (בהצגה פרמטרית) הוא:

$\gamma (t,\theta )=(t\cos \theta ,t^{2},-t\sin \theta )$ כאשר $-\infty <t<\infty$ ו- $0<\theta \leq \pi$
במערכת צירים קרטזית, הפרבולואיד שנוצר מתואר ע"י אוסף הפתרונות למשוואה:

$y=x^{2}+z^{2}$

דוגמאות

פרבולואיד אליפטי

פרבולואיד

ערך מורחב – פרבולואיד

כפי שניתן לראות בדוגמא לעיל אם נסובב פרבולה מסביב לציר הסימטריה שלה נקבל פרבולואיד, אך לא כל פרבולואיד הוא משטח סיבוב של פרבולה.
למעשה, הפרבולואיד היחיד המתקבל מסיבוב פרבולה הוא פרבולואיד אליפטי עם שני צירים שווים, המיוצג במערכת צירים קרטזית כאוסף הפתרונות של המשוואה:

${\tilde {z}}={\frac {{\tilde {y}}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {{\tilde {x}}^{2}}{a^{2}}}$

ספרואיד אובלי	ספרואיד פרובלי

ספרואיד

ערך מורחב – ספרואיד

ספרואיד הוא משטח הסיבוב הנוצר מסיבוב אליפסה מסביב לאחד משני צירי הסימטריה שלה. מסיבוב האליפסה מסביב לציר הראשי שלה נקבל ספרואיד פרובלי ומסיבובה מסביב לציר המשני שלה נקבל ספרואיד אובלי.
במערכת צירים קרטזית, משוואת הספרואיד שמרכזו בראשית וציר הסימטריה שלו הוא ציר ה-z נתונה ע"י אוסף הפתרונות של המשוואה:

${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

הספרואיד הוא מקרה פרטי של אליפסואיד בו שניים מהצירים שווים.

שטח

הנוסחא לחישוב שטחו של משטח סיבוב זהה לנוסחא לחישוב שטחו החיצוני של גוף סיבוב:
$A=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left(f'(x)\right)^{2}}}\,dx$

בעקום הנתון בהצגה פרמטרית $\gamma (t)=(x(t),y(t))$ ניתן לחשב את השטח של משטח הסיבוב המתקבל מסיבוב העקום מסביב לציר ה-y ע"י הנוסחא:

$A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\ {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\ dt$

באופן דומה ניתן לחשב את שטחו של משטח הסיבוב המתקבל ע"י סיבוב העקום מסביב לציר ה-x:

$A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\ {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt$

ראו גם

• גאומטריה אנליטית

[[קטגוריה:גאומטריה אנליטית]] [[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]