משתנים מקריים חילופיים

בהסתברות ובסטטיסטיקה, סדרה של משתנים מקריים חילופיים היא סדרה $X_{1},X_{2},\ldots$ (סופית או אינסופית) אם לכל תת סדרה סופית $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i}$, מתקיים כי ההתפלגות המשותפת שלה שמורה תחת כל תמורה. לדוגמה, כאשר $i=3$ צריך להתקיים:

$$F_{X_{1}X_{2}X_{3}}(x_{1},x_{2},x_{3})=F_{X_{1}X_{2}X_{3}}(x_{3},x_{1},x_{2})$$

, כאשר ${\textstyle F_{X_{1}X_{2}X_{3}}}$ היא פונקציית ההתפלגות המצטברת המשותפת של $X_{1},X_{2},X_{3}$ ומוגדרת באמצעות,

$$F_{X_{1}X_{2}X_{3}}(x_{1},x_{2},x_{3})=\Pr(X_{1}\leq x_{1},X_{2}\leq x_{2},X_{3}\leq x_{3})$$

הגדרה

סדרה של משתנים מקריים חילופיים היא סדרה $X_{1},X_{2},\ldots$ (סופית או אינסופית) אם לכל תת סדרה סופית $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i}$, ולכל תמורה $\sigma$ על המספרים הטבעיים $1,\ldots ,i$ מתקיים ${\textstyle F_{X_{1}\ldots X_{i}}(x_{1},\ldots ,x_{i})=F_{X_{1}\ldots X_{i}}(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (i)})}$.

סדרה $E_{1},E_{2},\ldots$ של מאורעות חילופיים היא סדרה של מאורעות אשר סדרת המשתנים המציינים המתאימים חילופיים.

אולב קלנברג סיפק הגדרה של חילופיות לתהליכים סטוכסטיים בזמן רציף.

היסטוריה

המושג החילופיות הוצג על ידי ויליאם ארנסט ג'ונסון בספרו מ-1924 Logic, Part III: The Logical Foundations of Science . החילופיות שקולה למושג הבקרה הסטטיסטית שהציג וולטר שוארט גם כן ב-1924.

חילופיות ומשתנים מקריים בלתי תלויים שווי התפלגות.

תכונת החילופיות קשורה קשר הדוק לשימוש במשתנים מקריים בלתי תלויים שווי התפלגות (independent and identically distributed-iid). סדרה של משתנים מקריים שהם iid, הם דוגמה פשוטה יחסית למשתנים חילופיים.

תערובת של סדרות משתנים מקריים חילופיים (ובפרט, סדרות של משתנים iid) נותנת סידרה של משתנים חילופיים. ההפך הוא גם נכון עבור סדרות משתנים חילופיים אינסופיות. (המשפט המקורי של דה פינטי הראה שזה נכון עבור משתנים מקריים מציינים. מאוחר יותר הורחב כך שיקיף את כל הסדרות של משתנים מקריים.)

דוגמאות

• נניח שכד מכיל $n$ כדורים אדומים ו $m$ כדורים כחולים. ונניח שמוציאים באקראי מהכד, ללא החזרה, כדור אחרי כדור, עד שהכד ריק. נסמן ב-$X_{i}$ את המשתנה המקרי המציין של המאורע שהכדור ה-$i$ שהוצא מהכד היה אדום. הסדרה $\left\{X_{i}\right\}_{i=1,\dots ,n+m}$ היא סדרה של משתנים מקריים חילופיים.
• נניח שכד מכיל $n$ כדורים אדומים ו $m$ כדורים כחולים. בכל פעם מוציאים באקראי כדור, ומחזירים אותו ועוד כדור באותו צבע לכד. נסמן ב-$X_{i}$ את המשתנה המקרי המציין של המאורע שהכדור ה-$i$ שהוצא מהכד היה אדום. הסדרה $\left\{X_{i}\right\}_{i\in \mathbb {N} }$ היא סדרה של משתנים מקריים חילופיים. מודל זה נקרא כד פוליה .
• למשתנים המקריים $(X,Y)$ יש התפלגות נורמלית דו משתנית עם פרמטרים $\mu =0$, $\sigma _{x}=\sigma _{y}=1$ ומקדם מתאם שרירותי $\rho \in (-1,1)$ . המשתנים המקריים $X$ ו $Y$ חילופיים, אבל הם בלתי תלויים רק אם $\rho =0$ . פונקציית הצפיפות היא $f_{XY}(x,y)=f_{XY}(y,x)=e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}}$