פונקציה מציינת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, פונקציה מציינת, הנקראת גם פונקציה אופיינית או לעתים גם אינדיקטור, היא פונקציה המוגדרת בקבוצה \,X ומציינת שייכות לתת קבוצה \,A של \,X. הפונקציה המציינת 1_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace \, מוגדרת באופן הבא:

1_A(x) = 
\left\{\begin{matrix} 
1 &\mbox{if}\ x \in A \\
0 &\mbox{if}\ x \notin A
\end{matrix}\right.

הפונקציה המציינת מסומנת לעתים גם כ-\ \chi_A(x) או כ-\ I_A(x). במקרה הפרטי של הפונקציה עבור X=\mathbb{N} ו-\,A = \lbrace 1 \rbrace, הפונקציה נקראת פונקציית היחידה.

תכונות בסיסיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \,A ו-\,B תת-קבוצות של \,X אזי:

מסקנות:

רציפות[עריכת קוד מקור | עריכה]

במרחב טופולוגי, הפונקציה המציינת \,1_A רציפה בכל הנקודות הפנימיות של \,A ושל המשלים של \,A, ואינה רציפה בכל הנקודות על שפת \,A. בכל נקודות הרציפות של \,1_A הפונקציה גם גזירה, ונגזרתה היא אפס.

הקשר לקבוצת החזקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצת הפונקציות המצינות, \ \lbrace 0,1 \rbrace^X = \lbrace1_A: X \to \lbrace 0,1 \rbrace|A \sube X\rbrace, הינה איזומורפית לקבוצת החזקה P(X). האיזומורפיזם בין הקבוצות מובהק ואף מוטמע בסימון של הפונקציה המציינת. ניתן להבין את הקשר באופן הבא: a \in A \iff 1_A(a)=1, כלומר איבר שייך לתת-קבוצה, אם ורק אם, הפונקציה המציינת המתאימה לקבוצה מקבלת 1 עבור האיבר. מכאן נובע ש-|P(A)|=2^{|A|} (ראו עוצמה).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.