פונקציה מציינת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, פונקציה מציינת, הנקראת גם פונקציה אופיינית או לעתים גם אינדיקטור, היא פונקציה המוגדרת בקבוצה ומציינת שייכות לתת קבוצה של . הפונקציה המציינת מוגדרת באופן הבא:

הפונקציה המציינת מסומנת לעתים גם כ- או כ-, או כ־ באמצעות סוגריי אייברסון. במקרה הפרטי של הפונקציה עבור ו-, הפונקציה נקראת פונקציית היחידה.

תכונות בסיסיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם ו- תת-קבוצות של אזי:

  • תכונת החיתוך:
  • תכונת האיחוד: (עקרון ההכלה וההפרדה)
  • תכונת המשלים:

מסקנות:

  • תכונת ההפרש הסימטרי:

או לחלופין:

רציפות[עריכת קוד מקור | עריכה]

במרחב טופולוגי, הפונקציה המציינת רציפה בכל הנקודות הפנימיות של ושל המשלים של , ואינה רציפה בכל הנקודות על שפת . בכל נקודות הרציפות של הפונקציה גם גזירה, ונגזרתה היא אפס.

הקשר לקבוצת החזקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצת הפונקציות המציינות, , הינה איזומורפית לקבוצת החזקה . האיזומורפיזם בין הקבוצות מובהק ואף מוטמע בסימון של הפונקציה המציינת. ניתן להבין את הקשר באופן הבא: , כלומר איבר שייך לתת-קבוצה אם ורק אם הפונקציה המציינת המתאימה לקבוצה מקבלת 1 עבור האיבר. מכאן נובע ש- (ראו עוצמה).

תכולה וקשר לאינטגרל[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבר A קבוצה המוכלת בקטע [a,b], נגדיר את התכולה הפנימית של A להיות האינטגרל התחתון של הפונקציה המציינת של A בקטע [a,b] ואותו הדבר עבור תכולה חיצונית של A על בסיס אינטגרל עליון. אם התכולה הפנימית והתכולה החיצונית של קבוצה הן שוות, אז הן נקראות פשוט התכולה של A. ניתן לראות כי לכל קבוצה בת מניה יש תכולה אפס (זאת אומרת שהתכולה שלה היא אפס), או בצורה כללית יותר, לקבוצה יש תכולה אפס אם"ם קיימת קבוצה סופית של קטעים סגורים כך שאיחודם מכיל את הקבוצה אך סכום האורכים הוא קטן כרצוננו. משפט חשוב בנושא החשבון האינטגרלי הוא שאם לפונקציה חסומה יש קבוצת אי רציפויות שלה היא בעלת תכולה אפס, אז היא אינטגרבילית.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.