נוסחת ברהמגופטה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בגאומטריה אוקלידית, נוסחת ברהמגופטה, היא נוסחה לחישוב שטח של מרובע בר חסימה, על בסיס צלעותיו. פותחה על ידי המתמטיקאי ההודי בראהמגופטה.

נוסחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

שטח K של מרובע בר חסימה, שאורך צלעותיו הם a ,b ,c ,d, ו-s הוא מחצית ההיקף של הצורה ( ) הוא:

הנוסחה היא הכללה לנוסחת הרון למשולשים, וניתן להסתכל עליה כך כאשר אורך אחת הצלעות הוא 0. ניתן לרשום את הנוסחה גם מהצורה:

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

דיאגרמה להוכחה

אנחנו נביא כאן הוכחה שבה השתמשנו באלגברה ובטריגונומטריה, והוכחה זה היא שונה מהוכחתו המקורית של ברהמגופטה. מרובע חסום ABCD ששטחו K הוא סכום השטחים של המשלושים ADB△ ו-BDC△,

מכיוון שמרובע ABCD הוא בר חסימה, אז DAB = 180° − ∠DCB∠, מכאן sin A = sin C,אז ניתן לרשום את השטח כ-

ומכאן:

ניתן לפתור עבור צלע DB במשולש ADB△ על ידי משפט הקוסינוסים, אז

ובגלל ש-cos C = −cos A (מכיוון שהם זוויות שמשלימות ל-360), ומכאן

אז

ניתן לפרק את הביטוי על ידי נוסחת כפל מקוצר, אז

ולאחר מכנה משותף,

ועל ידי הצבה של מחצית ההיקף S, אז נקבל

נוציא שורש ונחלק ב-16,ונקבל את הנוסחה:

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להכליל את הנוסחה למרובע שאינו בר חסימה,

כאשר θ זה מחצית סכום הזוויות ההפוכות (בחירת הזוויות היא שרירותית, כי אם נבחר את הזוג השני, אז הזווית תהיה 180 פחות θ, אז cos(180° − θ) = −cos θ, ומכאן cos2(180° − θ) = cos2 θ, אז הזוויות לא משנה), נוסחה זו ידוע בתור נוסחת ברטשניידר. כאשר המרובע הוא בר חסימה, אז θ שווה ל-90°, אז:

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]