לדלג לתוכן

נוסחת ברטשניידר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בגאומטריה אוקלידית, נוסחת ברטשניידר היא נוסחה לחישוב שטח של מרובע כלשהו על בסיס צלעותיו וזוויותיו, והיא

כאשר a,b,c ו-d הם צלעות המרובע, s היא מחצית ההיקף ו-α ו-γ הן זוויות נגדיות. הנוסחה נקראת על שם קרל אנטון ברטשניידר, אשר גילה אותה בשנת 1842. נוסחת ברטשניידר היא הכללה של נוסחת ברהמגופטה, שמתבססת על נוסחת הרון.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

סרטוט להוכחה.

נסמן באות K את שטח המרובע, אז:

מכאן

על פי משפט הקוסינוסים:

אז שתי הצלעות שוות לאורך הצלע BD בריבוע, אז ניתן לרשום את הנוסחה כ:

עכשיו נחבר את הנוסחה הזו לנוסחה שלמעלה ונקבל:

מכאן נשתמש באותה הדרך שבה הוכחה נוסחת ברהמגופטה, נקבל כי:

נציב את מחצית ההיקף בנוסחה בתור:

ונקבל כי

נחלק ב-16 ונוציא שורש ונקבל את נוסחת ברטשניידר.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]