משפט הקוסינוסים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
המחשת משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים הוא משפט טריגונומטרי שמציין את הקשר בין צלעות משולש לאחת מזוויותיו. המשפט הוא הכללה של משפט פיתגורס למשולש כלשהו.

עבור משולש שצלעותיו הן והזוויות שמול c היא , משפט הקוסינוסים קובע:

משפט פיתגורס מתקבל במקרה הפרטי שבו ולכן: .

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט הקוסינוסים במשולש חד-זווית

משפט הקוסינוסים מופיע כבר בספר 'יסודות' של אוקלידס מהמאה השלישית לפנה"ס. הספר מכיל גרסה גאומטרית, ללא שימוש בפונקציות טריגונומטריות (כיוון שטרם הוגדרו). המשפט מופיע בכרך 2 של ה'יסודות' כמשפט 12 עבור משולש קהה-זווית וכמשפט 13 עבור משולש חד-זווית. בציור משמאל, גרסת המשפט עבור משולש חד-זווית: .

מכיוון ש מתקבל משפט הקוסינוסים בגרסתו המוכרת. גרסה זו נוסחה בימי הביניים בעקבות פיתוחו של ענף הטריגונומטריה על ידי מתמטיקאים מוסלמים.

בתחילת המאה העשירית האסטרונום והמתמטיקאי המוסלמי אל-בתאני הכליל את המשפט לגאומטריה ספירית. הכללה זו אפשרה לו לחשב את המרחק הזוויתי בין כוכבים.

המתמטיקאי ג'משיד אל-קאשי מסמרקנד בן המאה ה-15 חישב ערכים של פונקציות טריגונומטריות. חישוביו הפכו את משפט הקוסינוסים ממשפט תאורטי למשפט שימושי. בצרפתית משפט הקוסינוסים נקרא משפט אל-קאשי.

הוכחות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה טריגונומטרית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה טריגונומטרית במשולש חד זווית
  1. נעביר גובה לצלע c (ראו ציור משמאל). .
    (השוויון נכון גם עבור משולש קהה זווית. שם האנך חותך את c מחוץ למשולש וקוסינוס הזווית הקהה הוא שלילי).
  2. נכפיל את השוויון הקודם ב-c ונקבל: .
  3. באותו אופן מקבלים: , .
  4. מחיבור שתי המשוואות הנ"ל נקבל: .
  5. לאחר העברת אגפים נקבל: .
  6. לפי השלב השני בהוכחה, אגף שמאל של המשוואה האחרונה שווה ל-c 2 ומתקבל משפט הקוסינוסים: .

הוכחה זו כאמור, נכונה עבור משולש כלשהו. בהוכחות רבות הנעזרות בטריגונומטריה, נעשית הפרדה בין משולשים חדי-זווית למשולשים קהי-זווית.

שימוש במשפט פיתגורס[עריכת קוד מקור | עריכה]

Triangle

ניקח משולש בעל צלעות , ו-, ובעל זוויות , ו- ממול לכל צלע בהתאמה. נוריד גובה מקודקוד הזווית לצלע b. את המשוואה נקבל באמצעות משפט פיתגורס על המשולש ישר הזווית השמאלי:

היות ש:

.

שימוש במשפט תלמי[עריכת קוד מקור | עריכה]

Ptolemy cos.svg

את המשולש ABC שצלעותיו BC = a AC = b AB = c,נחסום במעגל, כפי שניתן לראות בשרטוט משמאל. נבנה משולש ABD החופף למשולש המקורי: AD=BC ו BD=AC. מהקודקודים C,D נעביר גבהים החותכים את הצלע AB בנקודות F,E בהתאמה.

כעת, ממשפט תלמי נקבל:

שימוש באנליזה וקטורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

איור להוכחה

את המשפט קל להוכיח באמצעות חשבון וקטורים. וקטור הוא גודל לינארי מופשט הקיים במרחב וקטורי. על וקטורים במישור ניתן לחשוב כעל חצים בעלי אורך וכיוון, ובאמצעותם לייצג צורות גאומטריות, ובפרט מצולעים כגון משולש.

קל לראות מהאיור ש-.

נשתמש במכפלה סקלרית ונקבל:

שכן הזווית שמול הצלע c במשולש שווה לזווית בין הווקטורים ו- (שכן הן זוויות בין ישרים מקבילים הנוצרים מהעתקה מקבילה של הווקטור ).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]