וקטור נורמלי

מצולע עם שני וקטורי הנורמל שלו

וקטור נורמלי (Normal), המוכר גם בגאומטריה כנורמל, הוא וקטור (או ישר) המאונך לאובייקט המתאים; ישר, מישור או משטח כללי.

מציאת וקטור הנורמל

• מציאת וקטור הנורמל במישור: $Ax+By+C=0$ - כאן וקטור הנורמל הוא: $(A,B)$. כלומר, וקטור הנורמל הוא המקדמים של x ו-y.
• מציאת וקטור הנורמל במרחב: $Ax+By+Cz+D=0$ - כאן וקטור הנורמל הוא $(A,B,C)$.
• אם הישר או המישור נתונים בהצגה פרמטרית, ניתן למצוא את הווקטור על ידי המשוואות שמראות שהמכפלה הסקלרית של הווקטור הנורמלי בווקטורי הכיוון של הישר או המישור שווה לאפס.
• בהינתן הצגה פרמטרית של משטח כלשהו(לא בהכרח מישור), הווקטור הנורמלי של המשטח יהיה מכפלה וקטורית בין וקטורי הנגזרות החלקיות של הפרמטרים המגדירים של המשטח.

דוגמאות

• מציאת וקטור נורמלי למשטח $z=4-x^{2}-y^{2}$ בנקודה $(x,y,z)$. הצגתו הפרמטרית של המשטח היא : $S=(x,y,4-x^{2}-y^{2})$, מכיוון שהמשטח דו־ממדי הוא מתואר באמצעות שני פרמטרים בלבד, $x$ ו $y$. הנגזרת החלקית של S לפי $x$ היא ${\partial S \over \partial x}=(1,0,-2x)$ והנגזרת החלקית של S לפי $y$ היא ${\partial S \over \partial y}=(0,1,-2y)$. הווקטור הנורמלי למשטח מתקבל על ידי ${\partial S \over \partial x}\times {\partial S \over \partial y}={\begin{vmatrix}i&j&k\\1&0&-2x\\0&1&-2y\end{vmatrix}}=(2x,2y,1)$. כלומר לכל נקודה $(x,y,z)$, הווקטור ${\vec {n}}=(2x,2y,1)$ ניצב למשטח הפונקציה $z=4-x^{2}-y^{2}$. וקטור היחידה המנורמל הוא ${\widehat {n}}={{\vec {n}} \over \lVert {\vec {n}}\rVert }={(2x,2y,1) \over {\sqrt {4x^{2}+4y^{2}+1}}}$.

שימושים

לווקטור הנורמל מספר שימושים:

• וקטורים מאונכים אם ורק אם המכפלה הסקלרית של הנורמלים שלהם שווה לאפס.
• מגדירים אלמנט שטח אינפיניטסימלי בנקודה P על ידי ${\vec {dA}}=(dA){\vec {n}}$ כאשר ${\vec {n}}$ הוא וקטור נורמל באורך יחידה הניצב למשטח האינפיניטסימלי בנקודה P.

ראו גם

• כוח נורמלי

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.