מנרמל

בתורת החבורות, מנרמל (או נורמליזטור) של תת-חבורה $H$ בחבורה $G$ הוא התת-חבורה הגדולה ביותר של $G$ שבה $H$ נורמלית.

הגדרה

המנרמל של תת-חבורה $H\leq G$ הוא אוסף כל האיברים $g\in G$ עבורם $gHg^{-1}=H$.
במילים אחרות, האיברים $g\in G$ עבורם $ghg^{-1}\in H$ לכל $h\in H$. את המנרמל מקובל לסמן:

${\text{N}}_{G}(H)={\bigl \{}g\in G:gHg^{-1}=H{\bigr \}}$

כאשר מדובר בחבורות סופיות (ואפילו אם $H$ בלבד סופית), הקבוצה ${\bigl \{}g\in G:gHg^{-1}\subseteq H{\bigr \}}$ שווה למנרמל.
עם זאת, באופן כללי התנאי $gHg^{-1}\subseteq H$ חלש מתנאי השוויון, והוא מגדיר קבוצה המכילה את המנרמל, ועשויה להיות שונה ממנו. קבוצה זו סגורה לכפל, אך איננה בהכרח סגורה לפעולת ההיפוך. לדוגמה, בחבורת באומסלג-סוליטר $\langle a,b:aba^{-1}=b^{2}\rangle$, האיבר $a$ איננו שייך למנרמל של התת-חבורה הציקלית $\langle b\rangle$, אף כי $a\langle b\rangle a^{-1}\subset \,\langle b\rangle$.

תכונות עיקריות

מן ההגדרה ברור כי $H\subseteq {\text{N}}_{G}(H)$ ואף $H\trianglelefteq {\text{N}}_{G}(H)$. המנרמל הוא התת-חבורה הגדולה ביותר שבה $H$ נורמלית – כל תת-חבורה של $G$ המכילה את $H$ ושבה $H$ נורמלית, מוכלת במנרמל של $H$. המנרמל שווה ל-$G$ אם ורק אם $H$ עצמה תת-חבורה נורמלית.

האינדקס של ${\text{N}}_{G}(H)$ שווה למספר התת-חבורות הצמודות ל-$H$. אפשר לראות בגודל המנרמל מדד ל"מידת הנורמליות" של התת-חבורה: המנרמל של $H$ שווה ל-$H$ כאשר היא רחוקה ביותר מלהיות נורמלית.

באופן כללי מתקיים $H\subseteq {\text{N}}_{G}(H)\subseteq {\text{N}}_{G}({\text{N}}_{G}(H))\subseteq \cdots$. אם $G$ היא חבורת p אז $H\subset {\text{N}}_{G}(H)$ לכל $H\subset G$. לעומת זאת, אם $P$ היא תת-חבורת סילו, אזי ${\text{N}}_{G}(H)=H$ לכל ${\text{N}}_{G}(P)\subseteq H$ (זו תוצאה של משפט סילו השני).

המנרמל של איבר בחבורה חופשית הוא אבלי.

ראו גם

• מְרַכֵּז (של איבר)

קישורים חיצוניים

• מנרמל, באתר MathWorld (באנגלית)