סדרה הנדסית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
תרשים להמחשת סכום הסדרה ההנדסית: , המתכנסת למספר 2.

במתמטיקה, סדרה הנדסית היא סדרה של מספרים, כך שהמנה של כל שני איברים עוקבים (או היחס בין כל שני איברים סמוכים) היא קבועה. במילים אחרות, ניתן לחשב כל איבר בסדרה על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במספר קבוע \ q (מנת הסדרה). סדרה הנדסית קרויה כך, משום שכל איבר בה הוא הממוצע ההנדסי של האיברים הקודם והעוקב לו.

סדרה הנדסית מוגדרת לפי שני מאפיינים:

  • \ a_1 – האיבר הראשון שלה
  • \ q – מנת הסדרה (הקבועה לכל אורכה)

משני נתונים אלו ניתן לדעת את ערכו של כל איבר בסדרה. אם \ a_1 הוא האיבר הראשון ו-\ q היא מנת הסדרה, האיבר ה-\ n-י (\ a_n) נתון על ידי הנוסחה: \ a_n = a_1 \cdot q^{n-1}.

סכום סדרה הנדסית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה-\ n-י (כולל) (\ S_n) באמצעות הנוסחה: \ S_n = \frac{a_1\cdot(1-q^n)}{1-q}.

דוגמה לסדרה הנדסית, שמנתה היא 3 והאיבר הראשון שלה הוא 2: 162 ,54, 18, 6, 2. מספר איברי הסדרה הוא 5. מכאן, שסכום הסדרה הוא: \ S_n = \frac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}= \frac{2\cdot(3^5-1)}{3-1}= \frac{2\cdot242}{2}=242

הוכחת הנוסחה:

על פי הגדרת סדרה הנדסית: \ S_n =a_1+a_2+...+a_n= a_1+a_1q+a_1q^2+...+a_1q^{n-1}

וכן, אם נוסיף איבר אחד נוסף לסכום: \ S_{n+1} = a_1+a_1q+a_1q^2+...+a_1q^{n-1}+a_1q^{n}

באופן לא מפתיע, ניתן לראות כי כמעט כל האיברים משותפים, ולכן, אם נחסר משוואה אחת מן השנייה נקבל:

\ S_n-S_{n+1} = -a_1q^n

והרי \ S_{n+1} אינו אלא \ a_1+q \cdot S_n

(כי a_1 \cdot q=a_2, a_2 \cdot q=a_3 ו- a_n \cdot q=a_{n+1}),

ולכן:

\ S_n-S_{n+1} =S_n-(a_1+qS_n)=S_n(1-q)-a_1

נציב במשוואה \ S_n-S_{n+1} = -a_1q^n, ונקבל:

\ S_n(1-q)-a_1=-a_1q^n

\ S_n(1-q)=a_1-a_1q^n

\ S_n(1-q)=a_1(1-q^n)

נחלק את האגף הימני והשמאלי ב- \ (1-q) (הערה: עבור המקרה הפרטי q=1, בו תיווצר חלוקה (אסורה) באפס, הסדרה ההנדסית תהיה גם סדרה קבועה שכל איבריה זהים (כפל ב-1, איבר היחידה בפעולת הכפל), ועבורה נוסחת הסכום מאוד פשוטה לחישוב: \ S_n = n \cdot a_1), נקבל את הנוסחה:

\ S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}

טור הנדסי[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

מנוסחת סכום סדרה הנדסית ניתן לראות, שאם \ |q|<1, גם אם נסכום אינסוף איברים, סכום הסדרה יהיה סופי (כלומר, מתכנס למספר מסוים), כיוון שככל ש-n גדול יותר, האיבר a_n שואף לאפס.

לכן, סכום הטור האינסופי הוא S_\infty=a_1 \cdot \frac{\overbrace {q^n}^0-1}{q-1} =\frac{a_1}{1-q}. סדרות אינסופיות שסכומן סופי נקראות טורים מתכנסים, ויש להן חשיבות גדולה במתמטיקה. בפרט, התכנסות סכומה של הסדרה ההנדסית היא בעלת חשיבות רבה, שכן ישנם מבחני התכנסות לטורים, שמתבססים על היכולת להשוות טור אינסופי שהתכנסותו נבדקת לטור הנדסי.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]