סדרה הנדסית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, סדרה הנדסית או סדרה גאומטרית היא סדרה של מספרים, כך שהיחס בין כל שני איברים סמוכים הוא קבוע. במילים אחרות, ניתן לחשב כל איבר בסדרה על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במספר קבוע (היחס בין האיברים; נקרא גם מנת הסדרה). סדרה הנדסית קרויה כך, משום שכל איבר בה הוא הממוצע ההנדסי של האיבר הקודם לו והאיבר העוקב לו.

הסבר כללי[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקובל לסמן את האיבר במקום ה-[א] בצורה (את האות עשויה להחליף אות אחרת). אם ידוע לנו האיבר הראשון (מסומן ) ומנת הסדרה (הקבועה לכל אורכה; מקובל לסמן אותה באות ), אז ערכו של האיבר במקום ה- נתון בנוסחה:

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

האיבר הכללי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי סדרה . נאמר שהסדרה הנדסית, אם קיים כך שלכל ,

מההגדרה נובע כי ניתן לאפיין כל סדרה הנדסית בעזרת שני ערכים:

  • – האיבר הראשון בסדרה
  • – מנת הסדרה

במילים אחרות, הסדרה מוגדרת על ידי נוסחת נסיגה, , עם ערך התחלתי .

ההגדרה לפי נוסחת הנסיגה שקולה להגדרה לפי הנוסחה לאיבר כללי בסדרה:

סכום סדרה הנדסית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקובל לסמן את סכום כל האיברים בסדרה (כלשהי) עד האיבר במקום ה- (ועד בכלל)[ב] בביטוי . ניתן לחשב את הסכום ישירות, על ידי חיבור כל הערכים. עם זאת, במקרה של סדרה הנדסית קיימת גם נוסחה סגורה:

.

למשל, סדרה הנדסית סופית שמנתה היא 3, האיבר הראשון שלה הוא 2, ומספר איבריה הוא 5. בפירוש:

ניתן לסכום את הסדרה בפירוש,

הנוסחה שמופיעה לעיל נותנת את אותו סכום, ללא סכימה מפורשת:

חשיבותה של הנוסחה מתבררת כאשר מעוניינים לסכום עד גדול. במקרה כזה, סכימה ידנית עשויה להיות מייגעת, ואילו הזמן שלוקח לחשב את הנוסחה הוא בערך קבוע.

הוכחת הנוסחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

על פי הגדרת הסדרה ההנדסית:

הוספת האיבר הבא בסדרה נותנת את הסכום הבא בתור:

ואחרי סידור חדש, מתקבל

מצד שני,

לכן:

הצבה של משוואה נותנת:

כדי להימנע מחלוקה באפס, נחלק למקרים:

  • אם , הסדרה ההנדסית היא גם סדרה קבועה, שכל איבריה זהים, שכן 1 הוא איבר היחידה ביחס לפעולת הכפל. במקרה כזה נוסחת הסכום פשוטה לחישוב: .
  • אחרת, ניתן לחלק את האגף הימני והשמאלי ב- , ותתקבל הנוסחה:

סימון חלופי[עריכת קוד מקור | עריכה]

לעתים מתחילים את אינדקס הספירה מ-0, ואז הנוסחה לאיבר כללי מקבלת את הצורה:

והנוסחה לסכום החלקי

טור הנדסי[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

מנוסחת סכום סדרה הנדסית ניתן לראות, שאם , גם אם מספר האיברים שואף לאינסוף (סוכמים "אינסוף איברים"), סכום הסדרה יהיה סופי (כלומר, מתכנס למספר מסוים), כיוון שככל ש- גדול יותר, האיבר שואף לאפס.

לכן, הגבול של הטור האינסופי הוא

.

אם הגבול של סכום סדרה אינסופית קיים, אז הסכום נקרא טור מתכנס. בפרט, להתכנסות של הטור ההנדסי חשיבות רבה, שכן קיימים מבחני התכנסות לטורים אשר מתבססים על היכולת להשוות את הטור האינסופי שהתכנסותו נבדקת לטור הנדסי.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ביאורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ לפעמים קוראים לו גם האיבר ה-
  2. ^ לפעמים נקרא גם הסכום החלקי של הסדרה