סימן לוי-צ'יוויטה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
ייצוג וויזואלי של הטנזור

במתמטיקה ובפיזיקה, סימן לֵוִי־צִ'יוִיטָהאנגלית: Levi-Civita symbol, על שמו של המתמטיקאי טוליו לוי-צ'יוויטה) הוא פונקציה אנטי־סימטרית על אינדקסים. סימן לוי־צ'יוויטה מסומן באות היוונית אפסילון (ε), ומאפשר במקרים מסוימים לקצר את רישומן של פעולות על וקטורים ועל טנזורים. הטנזור שאיבריו מוגדרים על ידי סימן לוי־צ'יוויטה קרוי טנזור לוי־צ'יוויטה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

סימן לוי-צ'יוויטה הבסיסי מוגדר לשלשה של אינדקסים (i,j,k) באופן הבא:

{\displaystyle  \epsilon_{ijk} = 
\begin{cases}
+1, & (i,j,k) \mbox{ is } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ or } (3,1,2) \\
-1, & (i,j,k) \mbox{ is } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ or } (2,1,3) \\
0, & \mbox{otherwise: }i=j \mbox{ or } j=k \mbox{ or } k=i
\end{cases}}

תכונות והכללה[עריכת קוד מקור | עריכה]

סימן לוי־צ'יוויטה מתאר את זוגיות התמורה \left(1,2,3\right)\mapsto\left(i,j,k\right): הוא שווה ל־(‎+1) אם התמורה זוגית, ל־(‎-1) אם התמורה אי־זוגית, ול־0 אם לפחות שניים מהאינדקסים זהים (כלומר, הפונקציה איננה תמורה).

מתיאור זה נובעת הכללה של סימן לוי־צ'יוויטה לכל n-יה סדורה של אינדקסים (אם n>3):

  • הוא שווה ל־(‎+1) אם האינדקסים הם תמורה זוגית של \ \left( 1, 2, 3 , \cdots , n \right).
  • הוא שווה ל־(‎-1) אם האינדקסים הם תמורה אי-זוגית של \left( 1, 2, 3 , \cdots , n \right).
  • הוא שווה ל־0 אם יש לפחות שני אינדקסים זהים.

זהויות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור n=3\!, סימן לוי-צ'יוויטה מקיים מספר זהויות ראויות לציון עם הדלתא של קרונקר:

  • \sum_{i=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}
  • \sum_{i,j=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}

ולכל מספר של אינדקסים, מתקיים

  • \sum_{i,j,k,\dots=1}^n \epsilon_{ijk\dots}\epsilon_{ijk\dots} = n!

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

באנליזה וקטורית במרחב תלת-ממדי, משמש סימן לוי־צ'יוויטה להגדרת מכפלה וקטורית:


\mathbf{a \times b} =
  \begin{vmatrix} 
    \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
    a_1 & a_2 & a_3 \\
    b_1 & b_2 & b_3 \\
  \end{vmatrix}
= \sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k

ביתר פשטות, אם \mathbf{a \times b} = \mathbf{c}, אז


c_i = \sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} a_j b_k

או בכתיב מקוצר, לפי הסכם הסכימה של איינשטיין:


\left(\mathbf{a \times b}\right)_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k

באופן דומה, אם מסמנים (x,y,z)=\left(x_1,x_2,x_3\right), אפשר להגדיר בעזרת סימן לוי־צ'יוויטה את הרוטור:


\left(\operatorname{curl} \ \mathbf{a}\right)_i =\left(\nabla\times\mathbf{a}\right)_i = \sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} \frac{\partial a_j}{\partial x_k}

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]