מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
ייצוג וויזואלי של הטנזור במתמטיקה ובפיזיקה , סימן לֵוִי־צִ'יוִיטָה (באנגלית : Levi-Civita symbol, על שמו של המתמטיקאי טוליו לוי-צ'יוויטה ) הוא פונקציה אנטי־סימטרית על אינדקסים . סימן לוי־צ'יוויטה מסומן באות היוונית אפסילון (ε), ומאפשר במקרים מסוימים לקצר את רישומן של פעולות על וקטורים ועל טנזורים . הטנזור שאיבריו מוגדרים על ידי סימן לוי־צ'יוויטה קרוי טנזור לוי־צ'יוויטה .
סימן לוי-צ'יוויטה הבסיסי מוגדר לשלשה של אינדקסים
(
i
,
j
,
k
)
{\displaystyle (i,j,k)}
ϵ
i
j
k
=
{
+
1
,
(
i
,
j
,
k
)
is
(
1
,
2
,
3
)
,
(
2
,
3
,
1
)
or
(
3
,
1
,
2
)
−
1
,
(
i
,
j
,
k
)
is
(
3
,
2
,
1
)
,
(
1
,
3
,
2
)
or
(
2
,
1
,
3
)
0
,
otherwise:
i
=
j
or
j
=
k
or
k
=
i
{\displaystyle \epsilon _{ijk}={\begin{cases}+1,&(i,j,k){\mbox{ is }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ or }}(3,1,2)\\-1,&(i,j,k){\mbox{ is }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ or }}(2,1,3)\\0,&{\mbox{otherwise: }}i=j{\mbox{ or }}j=k{\mbox{ or }}k=i\end{cases}}}
סימן לוי־צ'יוויטה מתאר את זוגיות התמורה
(
1
,
2
,
3
)
↦
(
i
,
j
,
k
)
{\displaystyle \left(1,2,3\right)\mapsto \left(i,j,k\right)}
מתיאור זה נובעת הכללה של סימן לוי־צ'יוויטה לכל n-יה סדורה של אינדקסים (אם
n
>
3
{\displaystyle n>3}
הוא שווה ל־(+1) אם האינדקסים הם תמורה זוגית של
(
1
,
2
,
3
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle \ \left(1,2,3,\cdots ,n\right)}
הוא שווה ל־(-1) אם האינדקסים הם תמורה אי-זוגית של
(
1
,
2
,
3
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle \left(1,2,3,\cdots ,n\right)}
הוא שווה ל־0 אם יש לפחות שני אינדקסים זהים. עבור
n
=
3
{\displaystyle n=3\!}
הדלתא של קרונקר:
∑
i
=
1
3
ϵ
i
j
k
ϵ
i
m
n
=
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\epsilon _{ijk}\epsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}
∑
i
,
j
=
1
3
ϵ
i
j
k
ϵ
i
j
n
=
2
δ
k
n
{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}\epsilon _{ijk}\epsilon _{ijn}=2\delta _{kn}}
ולכל מספר של אינדקסים, מתקיים
∑
i
,
j
,
k
,
⋯
=
1
n
ϵ
i
j
k
…
ϵ
i
j
k
…
=
n
!
{\displaystyle \sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\epsilon _{ijk\dots }\epsilon _{ijk\dots }=n!}
באנליזה וקטורית במרחב תלת-ממדי , משמש סימן לוי־צ'יוויטה להגדרת מכפלה וקטורית :
a
×
b
=
|
e
1
e
2
e
3
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
|
=
∑
i
,
j
,
k
=
1
3
ϵ
i
j
k
e
i
a
j
b
k
{\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\mathbf {e_{i}} a_{j}b_{k}}
ביתר פשטות, אם
a
×
b
=
c
{\displaystyle \mathbf {a\times b} =\mathbf {c} }
c
i
=
∑
j
,
k
=
1
3
ϵ
i
j
k
a
j
b
k
{\displaystyle c_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}}
או בכתיב מקוצר, לפי הסכם הסכימה של איינשטיין :
(
a
×
b
)
i
=
ϵ
i
j
k
a
j
b
k
{\displaystyle \left(\mathbf {a\times b} \right)_{i}=\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}}
באופן דומה, אם מסמנים
(
x
,
y
,
z
)
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
{\displaystyle (x,y,z)=\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}
רוטור :
(
curl
a
)
i
=
(
∇
×
a
)
i
=
∑
j
,
k
=
1
3
ϵ
i
j
k
∂
a
k
∂
x
j
{\displaystyle \left(\operatorname {curl} \ \mathbf {a} \right)_{i}=\left(\nabla \times \mathbf {a} \right)_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\frac {\partial a_{k}}{\partial x_{j}}}}
