סימן קרונקר

בתורת המספרים סימן קרוניקר הוא הרחבה של סימן לז'נדר ושל סימן יעקובי המוגדרת עבור כל המספרים השלמים. המושג הוגדר על ידי לאופולד קרונקר בשנת 1885.

הגדרה פורמלית

• נזכיר שעבור כל מספר טבעי $a$ ומספר ראשוני אי-זוגי $p$ סימן לז'נדר מוגדר על ידי:

$a$ מתחלק ב־$p$ ללא שארית. $a$ זר ל־$p$ והוא שארית ריבועית מודולו $p$. $a$ זר ל־$p$ ואינו שארית ריבועית מודולו $p$.

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&:a\equiv 0{\pmod {p}}&\\1&:a\not \equiv 0{\pmod {p}},&a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&:a\not \equiv 0{\pmod {p}},&a\not \equiv x^{2}{\pmod {p}}\end{cases}}$

• כעת נגדיר:

$$\left({\frac {a}{2}}\right):={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a{\mbox{ is even,}}\\1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}$$

• נגדיר גם

$$\left({\frac {a}{-1}}\right):={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}a<0,\\1&{\mbox{if }}a\geq 0.\end{cases}}$$

• כעת עבור $d$ שלם (שונה מ - 0) כלשהו מפרקים את $d$ לגורמים ראשוניים (לאו דווקא שונים) $d=up_{1}\cdots p_{n}$ כאשר $u=\pm 1$ ונגדיר את סימן קרונקר:

$$\left({\frac {a}{d}}\right):=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)$$

• לבסוף נגדיר
  $$\left({\frac {a}{0}}\right):={\begin{cases}1&{\text{if }}a=\pm 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$

קישורים חיצוניים

• סימן קרונקר, באתר MathWorld (באנגלית)