סכום המנה

בתורת המספרים, סְכוּם המַנָה $s (n)$ של מספר שלם חיובי $n$ הוא סכום כל המחלקים הראויים של $n$ , כלומר כל המחלקים של $n$ מלבד $n$ עצמו. זה,

s(n)=\sum _{{d|n,} \atop {d\neq n}}d\,

ניתן להשתמש בו כדי לאפיין את המספרים הראשוניים, המספרים המושלמים, המספרים החברותיים, המספרים החסרים, מספרים שופעים ומספרים לא נגיעים, וכדי להגדיר את סדרת המחלקים של מספר.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לדוגמה, המחלקים הראויים של 12 (כלומר, המחלקים החיוביים של 12 שאינם שווים ל-12) הם 1, 2, 3, 4 ו-6, כך שסכום המנה של 12 הוא 16, כלומר ( 1 + 2 + 3 + 4 + 6 ).

הערכים של $s (n)$ עבור $n=1,2,3,...$ הם: (מימין לשמאל)

0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ...

(סדרה A001065 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים)

אפיון מחלקות של מספרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להשתמש בפונקציית סכום המנה כדי לאפיין מספר מחלקות בולטות של מספרים:

1 הוא המספר היחיד שסכום המנה שלו הוא 0.
מספר הוא ראשוני אם ורק אם סכום המנה שלו הוא 1.^[1]
סכומי המנה של מספרים מושלמים, חסרים ושופעים שווים למספר עצמו, קטנים ממנו וגדולים ממנו בהתאמה.^[1] המספרים הכמו-מושלמים (אם קיימים מספרים כאלה) הם המספרים $n$ שסכומי המנה שלהם שווים ל- $n + 1$ . המספרים הכמעט מושלמים (הכוללים את החזקות של 2, בהיותם המספרים היחידים הידועים עד כה) הם המספרים $n$ שסכומי המנה שלהם שווים $n - 1$ .
המספרים הלא נגיעים הם המספרים שאינם סכום המנה של מספר אחר. המחקר שלהם חוזר לפחות לאבו מנסור אל-בגדאדי (בסביבות 1000 לספירה), שראה כי גם 2 וגם 5 הם לא נגיעים.^[1]^[2] פול ארדש הוכיח שמספרם אינסופי.^[3] ההשערה ש-5 הוא המספר האי-זוגי היחיד שלא נגיע נותרה בלתי מוכחת, אך תבוא מצורה של השערה של גולדבך יחד עם התצפית שעבור מספר ראשוני למחצה $pq$ , סכום המנה הוא $p+q+1$ .^[1]

איטרציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

איטרציה של הפונקציית סכום המנה מייצרת את סדרת המחלקים $n, s (n), s (s (n)), \dots$ של מספר שלם חיובי $n$ ברצף זה, אנו מגדירים $s (0) = 0$ .

מספרים חברותיים הם מספרים שרצף המנות שלהם הוא רצף תקופתי. מספרים ידידים הם מספרים חברותיים שלרצף המנות שלהם יש תקופה 2.

עדיין לא ידוע אם רצפים אלה מסתיימים תמיד במספר ראשוני, מספר מושלם או רצף תקופתי של מספרים חברותיים.^[4]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית סכום מחלקים חיוביים, סכום המחלקים החיוביים של מספר, בחזקת x.
ויליאם מאובריב, נומרולוג מימי הביניים המתעניין בסכומי מנות.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Restricted Divisor Function, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

^ ¹ ² ³ ⁴ Pollack, Paul; Pomerance, Carl (2016), "Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function", Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 3: 1–26, doi:10.1090/btran/10, MR 3481968
^ Sesiano, J. (1991), "Two problems of number theory in Islamic times", Archive for History of Exact Sciences, 41 (3): 235–238, doi:10.1007/BF00348408, JSTOR 41133889, MR 1107382, S2CID 115235810
^ Erdős, P. (1973), "Über die Zahlen der Form $\sigma (n)-n$ und $n-\phi (n)$ " (PDF), Elemente der Mathematik, 28: 83–86, MR 0337733
^ Weisstein, Eric W. "Catalan's Aliquot Sequence Conjecture". MathWorld.

[:0-1] ¹ ² ³ ⁴ Pollack, Paul; Pomerance, Carl (2016), "Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function", Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 3: 1–26, doi:10.1090/btran/10, MR 3481968

[2] Sesiano, J. (1991), "Two problems of number theory in Islamic times", Archive for History of Exact Sciences, 41 (3): 235–238, doi:10.1007/BF00348408, JSTOR 41133889, MR 1107382, S2CID 115235810

[3] Erdős, P. (1973), "Über die Zahlen der Form $\sigma (n)-n$ und $n-\phi (n)$ " (PDF), Elemente der Mathematik, 28: 83–86, MR 0337733

[4] Weisstein, Eric W. "Catalan's Aliquot Sequence Conjecture". MathWorld.

[1]

[2]

[3]

[4]