פונקציית מביוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציית מביוס, המסומנת היא פונקציה אריתמטית שהוצגה לראשונה על ידי אוגוסט פרדיננד מביוס. הפונקציה מוגדרת על המספרים הטבעיים והיא תלויה רק בפירוק לגורמים של המספר שעליו היא פועלת. לפונקציה שימושים בתורת המספרים ובקומבינטוריקה, ויש לה גרסאות מוכללות (המוגדרות על קבוצה סדורה).

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם יש ל- גורם ריבועי אז . אחרת הוא מכפלה של (נאמר) גורמים ראשוניים שונים, ואז . בפרט, .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערכים שעבורם הפונקציה מחזירה 0 (כאמור, אלו בדיוק הערכים שמתחלקים על ידי ריבוע כלשהו) הם:

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63,...

עבור כל מספר ראשוני הפונקציה תחזיר 1-. כמו כן היא תחזיר 1- עבור כל מספר שהוא מכפלה של שלושה ראשוניים שונים. המספרים הללו הם:

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222,...

(וכאמור באופן כללי היא תחזיר 1- עבור כל מספר שהוא מכפלה של מספר אי זוגי של ראשוניים שונים.)

עבור מספרים המורכבים ממכפלה של מספר זוגי של מספרים ראשוניים הפונקציה תחזיר 1, למשל:

6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 39, 51, 55, 65, 77, 85, 91, 143, 187, 210...

50 הערכים הראשונים של

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • פונקציית מביוס היא פונקציה כפלית, כלומר אם אז .
  • .
  • תכונה שימושית היא נוסחת ההיפוך של מביוס, הנובעת מהיותה של פונקציית מביוס האיבר ההופכי לפונקציה ביחס לקונבולוציית דיריכלה.

דוגמה לשימוש[עריכת קוד מקור | עריכה]

נסמן , כלומר הוא מספר המספרים בין 1 ל- שזרים ל-. נרצה למצוא נוסחה לחישוב .

נסמן ב- את הראשוניים השונים שמחלקים את (ייתכן יותר מפעם אחת). נחשב את לפי עקרון ההכלה וההפרדה: ראשית נוסיף את כל המספרים בין 1 ל-, יש כאלו. אחר כך לכל נוריד את כל המספרים שמתחלקים בו, יש כאלה (לפירוש הסימון ראו פונקציית רצפה) אחר כך נוסיף לכל את כל המספרים שמתחלקים בשניהם, יש כאלה, וכן הלאה. סך הכל נקבל את הנוסחה:

שבעזרת פונקציית מביוס אפשר להציגה בדרך פשוטה יותר:

אם לוקחים הביטוי בתוך הערך השלם נהיה שלם; במקרה זה אפשר לפשט את הביטוי ל-, שהיא הנוסחה הידועה לחישוב פונקציית אוילר.

הכללה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם היא קבוצה עם יחס סדר חלש, פונקציית מביוס של הקבוצה מוגדרת לפי השוויון , כאשר המטריצה מתארת את היחס: אם , ו- אחרת. עבור המספרים הטבעיים עם יחס החילוק, מתקבלת פונקציית מביוס הרגילה.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פונקציית מביוס בוויקישיתוף