פונקציית אוילר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
1,000 הערכים הראשונים של פונקציית אוילר

פונקציית אוילר, הקרויה על-שם לאונרד אוילר, היא דוגמה חשובה לפונקציה אריתמטית. הפונקציה, שאותה מקובל לסמן באות היוונית (פי), מוגדרת באופן הבא: שווה למספרם של המספרים הטבעיים הזרים ל-n ואינם גדולים ממנו. למשל, , , ואילו (1 הוא המספר הטבעי היחיד שזר לעצמו).

הפונקציה מוכרת ושימושית בעיקר בזכות משפט אוילר, שלפיו הסדר של כל איבר בחבורת אוילר מסדר מחלק את .

חישוב הפונקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם מספר ראשוני, אז כל המספרים הקטנים מ- זרים לו, ולכן . באופן כללי יותר, המספרים הזרים ל- הם כל אלו שאינם מתחלקים ב-, ולכן . ממשפט השאריות הסיני נובע שפונקציית אוילר היא כפלית, כלומר, כל אימת שהמספרים זרים. מכיוון שכך, אפשר לחשב את ערכיה על-פי הנוסחה , כאשר הם הגורמים הראשוניים השונים של . לדוגמה .

תכונות הפונקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציית אוילר מקיימת את הזהות , אותה אפשר להסביר באמצעות חישוב הסדרים של איברים בחבורה הציקלית .

לכל , מספר זוגי. ניתן לראות זאת מתכונת הכפליות. אם ל- אז . אחרת, ל-n יש מחלק p ראשוני אי-זוגי, כלומר הוא מהצורה , ולכן: , ו- זוגי.

הערך הממוצע של הפונקציה הוא[1] . הגבול התחתון של היחס הוא , כאשר הוא קבוע אוילר.

בתורת גלואה, פונקציית אוילר מופיעה כממד של ההרחבה הציקלוטומית של שדה המספרים הרציונליים על ידי שורש היחידה מסדר n (הסיבה לכך היא שהפולינום הציקלוטומי הוא אי פריק).

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, פרק 18.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ זו השערה לא מפורסמת של גאוס מ-1796. פורסמה לראשונה על ידי דיריכלה ב-1849, והוכחה לבסוף על ידי Arnold Walfisz,