פונקציית אוילר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
1,000 הערכים הראשונים של פונקציית אוילר

פונקציית אוילר, הקרויה על-שם לאונרד אוילר, היא דוגמה חשובה לפונקציה אריתמטית. הפונקציה, שאותה מקובל לסמן באות היוונית (פי), מוגדרת באופן הבא: שווה למספרם של המספרים הטבעיים הזרים ל- ואינם גדולים ממנו. למשל, , , ואילו (1 הוא המספר הטבעי היחיד שזר לעצמו). כלומר, זהו גודלה של חבורת אוילר המתאימה ל-: .

הפונקציה מוכרת ושימושית בעיקר בזכות משפט אוילר, שלפיו הסדר של כל איבר בחבורת אוילר מסדר מחלק את .

חישוב הפונקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם מספר ראשוני, אז כל המספרים הקטנים מ- זרים לו, ולכן . באופן כללי יותר, המספרים שאינם זרים ל- הם כל אלו שמתחלקים ב-, שמספרם , ולכן . ממשפט השאריות הסיני נובע שפונקציית אוילר היא כפלית, כלומר, כל אימת שהמספרים זרים. מכיוון שכך, אפשר לחשב את ערכיה על-פי הנוסחה , כאשר הם הגורמים הראשוניים השונים של . לדוגמה . נראה זאת. נכתוב ואז נקבל ממה שאנו כבר יודעים עבור חישוב פונקציית אוילר לחזקה של ראשוני כי:

תכונות הפונקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • פונקציית אוילר מקיימת את הזהות , אותה אפשר להסביר באמצעות חישוב הסדרים של איברים בחבורה הציקלית .

כאשר היא פונקציית מוביוס.

נוכל לתת הוכחה נוספת, המבוססת על הנוסחה לחישוב הפונקציה שהראינו. הרי אם נסמן ב- את הגורמים הראשוניים השונים שמחלקים את , נוכל להבחין כי

שהרי לכל מחלק , אם הוא לא מכפלת ראשוניים שונים אז מהגדרת פונקציית מוביוס.

  • לכל , מספר זוגי. ניתן לראות זאת מתכונת הכפליות. אם בעבור , אז . אחרת, ל- יש מחלק ראשוני אי-זוגי, כלומר הוא מהצורה , ולכן: , ו- זוגי.
  • הערך הממוצע של הפונקציה הוא[1] . הגבול התחתון של היחס הוא , כאשר הוא קבוע אוילר.
  • ניתן לכתוב את טור דיריכלה של פונקציית אוילר באופן הבא:

כאשר היא פונקציית זטא של רימן.

  • .

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, פרק 18.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פונקציית אוילר בוויקישיתוף

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ זו השערה לא מפורסמת של גאוס מ-1796. פורסמה לראשונה על ידי דיריכלה ב-1849, והוכחה לבסוף על ידי Arnold Walfisz.