פונקציית רמפה

פונקציית רמפה עם שיפוע 1 לכל x>0.

פונקציית רמפה או פונקציית כבשׁ היא פונקציה ממשית $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, שייחודיותה מתבטאת בזה שהגרף שלה נראה כמו רמפה.

לפונקציה שימושים רבים במתמטיקה, סטטיסטיקה ובינה מלאכותית.

כמו פונקציית מדרגה עיקר השימוש בפונקציה זאת הוא כדי להגדיר פונקציות אחרות בתחומים מסוימים בעזרת כפל בפונקציית הרמפה.

הגדרת הפונקציה

פונקציית רמפה היא כל פונקציה בעלת שיפוע חיובי ליניארי.

את הפונקציה ניתן להגדיר בעזרת כמה דרכים. להלן חלק מהדרכים להגדיר פונקציית רמפה עם שיפוע 1 לכל $x>0$.

הגדרה בעזרת פונקציה מוגדרת למקוטעין: $R(x):={\begin{cases}x&:x\geq 0\\0&:x<0\end{cases}}$

הגדרה בעזרת פונקציית המקסימום: $R(x):=\max(x,0)$

הגדרה בעזרת ערך מוחלט: $R(x):={\frac {x+|x|}{2}}$

אם נרצה להגדיר עבור שיפוע $a$ כלשהו ו-$x>b$ כלשהו נגדיר כך: $R(x)=\max(ax,b)={\frac {ax+b+|ax-b|}{2}}$

הגדרה בעזרת פונקציית מדרגה: $R(x)=xH(x)$, ואם אם נרצה להגדיר עבור שיפוע $a$ כלשהו ו-$x>b$ כלשהו נגדיר כך: $R(x)=axH(x+b)$.

הגדרה בעזרת אינטגרל לא אמיתי על פונקציית המדרגה: $R(x):=\int \limits _{-\infty }^{x}H(t)dt$

מאפייני הפונקציה

הנגזרת של פונקציית הרמפה היא פונקציית מדרגה.

הנגזרת השנייה של פונקציית רמפה היא פונקציית דיראק.

התמרת לפלס של פונקציית הרמפה:

${\mathcal {L}}{\big \{}R(x){\big \}}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}$

קישורים חיצוניים

• פונקציית רמפה, באתר MathWorld (באנגלית)