שלושת הערכים הראשונים של הביטוי x [5]2. הערך של 3[5]2 הוא בערך 7.626 × 10 12 ; ערכים עבור x גבוה יותר, כגון 4[5]2, שזה בערך 2.361 × 10 8.072 × 10 153 גדולים מדי מכדי להופיע בגרף.
במתמטיקה, פנטציה (או היפר-5 ) היא ההיפר-פעולה הבאה אחרי הטטרציה ולפני ההקסציה. היא מוגדרת כטטרציה חוזרת, בדיוק כפי שטטרציה היא חזקה חוזרת[1] זוהי פעולה בינארית המוגדרת עם שני מספרים a ו-b, כאשר עושים a בטטרציית עצמו b פעמים. לדוגמה, שימוש בסימון היפר-פעולות עבור פנטציה וטטרציה, פירושו 2 בטטרציית עצמו פעמיים, או . לאחר מכן ניתן לצמצם זאת ל
אין הסכמה לגבי הסימון של פנטציה; ישנן דרכים רבות ושונות לכתוב את פעולת הפנטציה. עם זאת, חלקם נפוצים יותר מאחרים, ולחלקם יתרונות או חסרונות ברורים בהשוואה לאחרים.
אפשר לכתוב פנטציה, כמו שכותבים היפר-פעולות פעולות אחרות, למשל: = a בטטרצית a כך שכמות הפעמים שיש a בתרגיל הזה שווה ל-b, והחמש בסוגריים המסולסלות מסמן שזה פנטציה.
בסימון החץ למעלה, מיוצג כ אוֹ . בסימון זה, מייצג חזקה ו- מייצג טטרציה. ניתן להתאים את הפעולה בקלות לחזקה וטטרציה על ידי שינוי כמות החצים.
ניתן לקבל את ערכי פונקציית הפנטציה גם מהערכים בשורה הרביעית בטבלת הערכים של גרסה של פונקציית אקרמן: אם מוגדר על ידי הישנות אקרמן עם התנאים ההתחלתיים ו , לאחר מכן . [5]
כמו טטרציה, פעולת הבסיס שלו, פנטציה לא הורחבה לגבהים שאינם שלמים, pentation מוגדר כרגע רק עבור ערכים שלמים של a ו- b שבהם a > 0 ו- b ≥ −2, ועוד כמה ערכי מספר שלמים שעשויים להיות מוגדרים באופן ייחודי. כמו בכל פעולות יתר מסדר 3 ( אקספונציה ) ומעלה, לפנטציה יש את המקרים הטריוויאליים (זהויות) הבאים שמתקיימים עבור כל הערכים של a ו- b בתחום שלו:
מלבד המקרים הטריוויאליים המוצגים לעיל, פנטציה מייצרת מספרים גדולים מאוד במהירות רבה, כך שיש רק מקרים בודדים שאינם טריוויאליים המייצרים מספרים שניתן לכתוב בסימון קונבנציונלי, כפי שמודגם להלן:
(מוצג כאן בתווי אקספוננציאלי חוזר מכיוון שהוא גדול מדי מכדי להיכתב בסימון קונבנציונלי. הערה )
![{\displaystyle 2[5]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c3c4f3a4215af3d0aba5d1be34d345eb03d108)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ca481db73e672c49db94005ca4638ee07e9a35)
=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dde2e1ae796cf35361a4eac0ed5ee088dad464d)
![{\displaystyle a[5]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d782af460e582816fb4e49d3907b621dd297d4d3)
![{\displaystyle a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63a65e4bf6c07338977b0fedeca2a2b702f4306)
![{\displaystyle a[5]b=A(4,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de36fd296e5556dc05d3da63d988f0e3aba29d19)
![{\displaystyle 1[5]b=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa921244f5a19ac238e1e5facbce803f7bd536a)
![{\displaystyle a[5]1=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54b09635a9e2ad78029099d065c824340b94ee2c)
![{\displaystyle a[5]2=a[4]a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af77310dd762cc30118f6595813c7b9d8fefd72e)
![{\displaystyle a[5]0=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad5cdf53a1e0c4bd1ee33b75c0375f3c2be4bbe)
=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38979a979502245eb33bd881f3b464e45adfea0)
=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc99b8fb595e98b67463657c9950b4eba96d2cb)
=a[4](a[5]b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09568169f0a8bdbd468ab07f60d1e74c56439a4)
![{\displaystyle 2[5]2=2[4]2=2^{2}=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f544aee58a80be2fa1dcdae14cddab48f8b189d9)
![{\displaystyle 2[5]3=2[4](2[5]2)=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb29f9dc74dba7f4a713a28582c90f537827938f)
![{\displaystyle 2[5]4=2[4](2[5]3)=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65,536=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 65,536) }}\approx \exp _{10}^{65,533}(4.29508)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c41819210b848db43294a19dda82f879c92dec0)
![{\displaystyle 2[5]5=2[4](2[5]4)=2[4](2[4](2[4](2[4]2)))=2[4](2[4](2[4]4))=2[4](2[4]65,536)=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 2[4]65,536) }}\approx \exp _{10}^{2[4]65,536-3}(4.29508)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227977424727e9a4313595075ee7556b01210f52)
![{\displaystyle 3[5]2=3[4]3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a455992a369ea94a39c61963513f4d19b3c7800)
![{\displaystyle 3[5]3=3[4](3[5]2)=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428decd75ac732e6a8bb74b6f10ebf130f4e7040)
![{\displaystyle 3[5]4=3[4](3[5]3)=3[4](3[4](3[4]3))=3[4](3[4]7,625,597,484,987)=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 3[4]7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{3[4]7,625,597,484,987-1}(1.09902)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44619c29439c58475ede02e33e1ac0f3bc6ecef)
![{\displaystyle 4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb9353578126aa7a2e5dbbb93f5587a9f80373a)
![{\displaystyle 5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428de46090279b2771bd9e491bfb0d4886183d53)