קבוצה סדורה צפופה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקבוצות, קבוצה סדורה היא צפופה אם בין כל שני איברים שלה, יש איבר נוסף. כל קבוצה צפופה, בת-מניה, שאין לה איבר ראשון או אחרון, היא איזומורפית-סדר לרציונליים.

קבוצה A עם סדר חלקי נקראת "צפופה" אם לכל x<y\isin A יש \!\,z\isin A כך ש-\!\,x<z<y. בקבוצה צפופה אין משמעות למושג "האיבר הקטן ביותר הגדול מ-x", משום שלכל איבר הגדול מ-x, יש איבר נוסף ביניהם. בפרט, בין כל שני איברים בקבוצה צפופה יש אינסוף איברים אחרים.

לדוגמה, קבוצת המספרים הרציונליים צפופה: הממוצע החשבוני של כל שני מספרים רציונליים הוא רציונלי. לעומתה, קבוצת המספרים הטבעיים אינה צפופה: אין מספר טבעי בין 1 ל-2.

תת-קבוצה צפופה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תת-קבוצה B של קבוצה סדורה A היא תת-קבוצה צפופה, אם בין כל שני איברים של A יש איבר של B, כלומר לכל x,y\isin A שעבורם \!\,x<y, קיים \!\,z\isin B כך ש-\!\,x<z<y. לדוגמה, קבוצת המספרים הרציונליים צפופה בקבוצת הממשיים (זו תוצאה של הארכימדיות של הממשיים). קבוצה היא צפופה (במובן שהוגדר לעיל) אם ורק אם היא צפופה כתת-קבוצה של עצמה. אם B צפופה ב-A, אז כל אחת מהן מוכרחה להיות צפופה.