קבוצה צפופה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה, תת-קבוצה A של מרחב טופולוגי X נקראת קבוצה צפופה, אם לכל קבוצה פתוחה ולא ריקה ב-X, מכילה איבר מתוך A. תכונה זו שקולה לכך שהסגור של A שווה למרחב כולו.

אם \left(X,d\right) מרחב מטרי, פירושו של דבר שניתן להתקרב כרצוננו לכל נקודה ב-X בעזרת נקודות מ-A: לכל x \in X ולכל \epsilon>0, יש a \in A המקיימת d\left(x,a\right) < \epsilon.

מרחב שקיימת בו קבוצה צפופה בת מנייה נקרא מרחב ספרבילי. לדוגמה, קבוצת המספרים הרציונליים צפופה בישר הממשי, שכן כל קטע פתוח בישר הממשי מכיל מספרים רציונליים (זוהי תכונת הארכימדיות של הממשיים). לכן השדה הממשי ספרבילי.