שדה המספרים הרציונליים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שדה המספרים הרציונליים (או: השדה הרציונלי) הוא האוסף של כל השברים (כגון ), יחד עם פעולות החיבור והכפל הרגילות. באופן כזה, אוסף השברים מהווה שדה סדור, שאבריו הם כל המספרים הרציונליים. כיוון שכל מספר רציונלי הוא מנה של שני מספרים שלמים, מסמנים את השדה ב-, האות הראשונה במלה Quotient (מנה באנגלית).

הוא השדה הקטן ביותר ממאפיין אפס: כל שדה שבו המספרים הטבעיים שונים זה מזה מכיל עותק של , ולכן אפשר להתייחס לכל שדה ממאפיין אפס כאל הרחבה של השדה הרציונלי. כאשר ממד ההרחבה סופי, איבריו של השדה הם כולם אלגבריים מעל השדה הרציונלי, והוא נקרא שדה מספרים.

באופן פורמלי, בונים את כשדה שברים של חוג המספרים השלמים (ראו מערכות מספרים). לפרטי הבניה ראו מספר רציונלי.

כתת-שדה של השדה הממשי, השדה הרציונלי הוא קבוצה צפופה בת מנייה. השדה הממשי, אם כך, הוא מרחב ספרבילי.