קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בטופולוגיה, קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך היא טכניקה לבניית העתקה אוניברסלית ממרחב טופולוגי X למרחב האוסדורף קומפקטי , שיש לה חשיבות אפילו כאשר X מרחב דיסקרטי. קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של X היא מרחב האוסדורף קומפקטי הגדול ביותר הנוצר על ידי X, במובן שכל העתקה מ-X למרחב האוסדורף קומפקטי מתפצלת באופן יחיד דרך . אם X הוא מרחב רגולרי לחלוטין, אז תמונת X ב- הומיאומורפית ל-X, וכך אפשר לחשוב על X כתת-מרחב צפוף של . במקרה הכללי, ההעתקה אינה מוכרחה להיות חד-חד-ערכית.

אם מניחים את אקסיומת הבחירה, לכל מרחב טופולוגי יש קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך. בלעדיה, אפילו הטענה ש- אינה מוכרחה להיות נכונה, ובפרט קשה לתאר נקודות של באופן ישיר.

אוניברסליות ופונקטוריאליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המרחב והפונקציה מ-X אליו מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל פונקציה רציפה , כאשר K מרחב האוסדורף קומפקטי, יש המשכה יחידה לפונקציה רציפה . כרגיל במקרים של אוניברסליות, תכונה זו מאפיינת את עד כדי הומיאומורפיזם.

ההעתקה היא חד-חד-ערכית (ולכן הומיאומורפיזם אל התמונה) אם ורק אם X הוא מרחב טיכונוף. ההעתקה היא הומיאומורפיזם עם תמונה פתוחה אם ורק אם X מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית. תכונת ההרחבה שתוארה לעיל מאשרת כי הוא פונקטור מן הקטגוריה Top של מרחבים טופולוגיים, אל הקטגוריה CHaus של מרחבי האוסדורף קומפקטיים. נסמן ב- את פונקטור ההכלה. אז כל מורפיזם (עבור ) מתאים באופן יחיד למורפיזם (באמצעות צמצום ל-X ותכונת האוניברסליות), כלומר . היינו, הפונקטור הוא פונקטור צמוד משמאל ל-.

בניה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם X מרחב דיסקרטי, אפשר לבנות את כמרחב כל העל-מסננים על X, עם טופולוגיית סטון. אברי X מתאימים למסננים העיקריים. ידועות גם בניות אחרות, המתאימות למרחב טופולוגי כללי.

קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של חבורה למחצה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם S חבורה למחצה דיסקרטית, יש המשכה יחידה של הפעולה מ-S ל- כך שהכפל מימין בכל איבר הוא רציף, והכפל משמאל בכל איבר של S הוא רציף. המשכה זו היא אסוציאטיבית. מתברר ש- אוניברסלי כחבורה למחצה קומפקטית והאוסדורף (כלומר ביחס להומומורפיזמים רציפים). אם חבורות למחצה דיסקרטיות, אז גם היא תת-חבורה למחצה.

המרכז הטופולוגי של (הכולל, בהגדרה, את האיברים שהכפל משמאל בהם רציף) שווה למרכז האלגברי. אם S חבורה למחצה אינסופית ובעלת צמצום מימין או משמאל, אז הוא אידיאל ימני או שמאלי, בהתאמה.

קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של המספרים הטבעיים (עם הטופולוגיה הדיסקרטית) היא אובייקט נחקר ובעל חשיבות בתורת הקבוצות. גם המבנה האלגברי של המספרים הטבעיים משך תשומת לב לא מבוטלת בהקשר זה. אלא שהמבנה האלגברי של הקומפקטיפיקציות ו- סבוך להפליא. למשל, במרכזים של , ו- אין אף איבר שאינו שייך לקבוצה המקורית (הטבעיים בשני המקרים הראשונים, השלמים באחרון). ב- כמעט ואין שלשות המקיימות את החוק הדיסטריבוטיבי.

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Hindman and Strauss, Algebra in the Stone-Cech compacification, 2nd ed, 2012. (mostly chapters 4 and 6).