שיחה:אי-שוויון הממוצעים

האם צריך קטיגוריה:אי שוויונים? תחום צר מדי. אם כן - למה לא קיימת? חגי אדלר 17:15, 31 באוקטובר 2006 (IST)

א. כן. ב. קיימת - קטגוריה:אי-שוויונות. אבינעם 20:36, 31 באוקטובר 2006 (IST)

טוב שתוקן הקישור. משום מה אצלי הוא לא עובד בערך, רק כאן בדף השיחה. אנא בדוק למה לא ניתן להגיע לקטיגוריה. חגי אדלר 20:50, 31 באוקטובר 2006 (IST)

אינני יודע. אצלי הוא עובד בערך. אבינעם 20:52, 31 באוקטובר 2006 (IST)

הכללה?

בסעיף "הכללות" מופיע המקרה של "חזרה על כל רכיב מספר פעמים", לדעתי אין זו הכללה, אלא דווקא מקרה פרטי. אנחנו לא עוברים כאן לתופעה כללית יותר, רחבה יותר, מזו שיצאנו ממנה, אלא לתופעה מצומצמת יותר, שבה אנו מטילים הגבלה על אופן התפלגותם של איברי הסדרה (כל p מהם חיבים להיות שווים זה לזה). דוד שי 17:56, 4 בנובמבר 2006 (IST)

הנוסחה $\ {\frac {P}{{\frac {p_{1}}{a_{1}}}+\dots +{\frac {p_{n}}{a_{n}}}}}\leq (a_{1}^{p_{1}}\cdots a_{n}^{p_{n}})^{1/P}\leq {\frac {p_{1}a_{1}+\dots +p_{n}a_{n}}{P}}$ היא בלי ספק הכללה של אי-השוויון המקורי, שהוא המקרה הפרטי $\ p_{1}=\cdots =p_{n}=1$. ההוכחה להכללה היא על-ידי בחינת וקטור ארוך יותר של מספרים, שבו יש חזרות. (פורמלית, אפשר לטעון ש(אם המקדמים $\ p_{i}$ כולם שלמים), כל אחת מהתוצאות היא מקרה פרטי של האחרת; אבל מכיוון שאפשר לבחור מקדמים לאו-דווקא שלמים, "ברור" איזו הסתכלות היא הנכונה). זו תופעה שכיחה באי-שוויונים, שהדרך להוכיח הכללות היא על-ידי בחירה נבונה של מקרה פרטי. עוזי ו. 23:30, 4 בנובמבר 2006 (IST)

קיימת הכללה

הנקראת אי-שוויון הממוצעים המוכלל - הקובע כי הממוצע המוכלל

${({\frac {{a_{1}}^{\alpha }+{a_{2}}^{\alpha }+{a_{3}}^{\alpha }+...+{a_{n}}^{\alpha }}{n}})}^{\frac {1}{\alpha }}$

הוא פונקציה מונוטונית עולה חלש של אלפה.

כדאי לציין זאת, לא?

ההכללה היא שאם נקח גבול עבור אלפה שווה ל0 נקבל את הממוצע ההנדסי, עבור אלפה שווה אחת נקבל את הממוצע החשבוני, ועבור אלפה שווה מינוס אחת נקבל את ההרמוני...

כדאי בהחלט. עוזי ו. 16:52, 7 בנובמבר 2006 (IST)

ממוצע ריבועי ??

מה עם ממוצע ריבועי ? [הוא הגדול ביותר מבין הממוצעים] ... אגב - צורה יפה להמחשת אי השוויון הוא הקטעים בטרפז - בטרפז אורך הקטע המקביל לצלעות ועובר דרך מפגש האלכסונים הוא ממוצע הרמוני של הבסיסים, קטע האמצעים הוא ממוצע חשבוני, הקטע המקביל לבסיסים ומחלק את הטרפז ל2 טרפזים דומים הוא ממוצע הנדסי ואילו הקטע המקביל לבסיסים ומחלק את הטרפז לשני טרפזים בעלי שטח שווה הוא ממוצע ריבועי .. [או שהחלפתי בין 2 מהם :S] בעל אופן - יוצא בסופו של דבר 4 קטעים בעלי אורכים שונים בהם מוצג אי השוויון בין הממוצעים באופן גאומטרי פשוט. כמובן שהמקרה של השוויון הוא כשהבסיסים שווים - מקבילית.

טעות

מפתיע, אבל אי השיוויון שהוצג לא היה נכון. אי השיוויון הנכון הוא: חשבוני >= הנדסי >= הרמוני אי השיוויון שהיה הוא: הנדסי >= חשבוני >= הרמוני

שימו לב שתחת "הכללות" הממוצע הנכון כן הופיע ודווקא בתחילת העמוד הוצג הממוצע לא נכון Eviatarsh - שיחה 10:27, 6 באפריל 2021 (IDT)

אי השוויון המופיע עכשיו בערך הוא ריבועי >= חשבוני >= הנדסי >= הרמוני.

(הדרך הנכונה לטפל בכל זה היא לדבר על המונוטוניות של הממוצע ה-alpha, כפי שהוסבר במעלה דף השיחה). עוזי ו. - שיחה 11:21, 6 באפריל 2021 (IDT)