אי-שוויון הממוצעים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, אי שוויון הממוצעים הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי של סדרה סופית של מספרים. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית, ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות. את אי-השוויון הוכיח אוגוסטין קושי, וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.

באותו שם נקרא גם אי שוויון בין הממוצע ההנדסי לממוצע ההרמוני; יחדיו, טוענים שני האי-שוויונות שלכל קבוצה של מספרים ממשיים חיוביים, מתקיים , כלומר הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי, והממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני. בשני המקרים לא מתקיים שוויון, אלא אם כל המספרים שווים זה לזה.

רקע[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם מספרים חיוביים, הרי

  • הממוצע החשבוני שלהם הוא סכומם המחולק ב- n: ;
  • הממוצע ההנדסי הוא השורש ה-n-י של מכפלתם: ;
  • הממוצע ההרמוני הוא המספר ההופכי לממוצע החשבוני של ההופכיים: .

שלושת הביטויים מתאימים, בהקשרים שונים, לשמש כ"ממוצע", למשל בכך ששלושתם נמצאים תמיד בין הערך הקטן ביותר לגדול ביותר בסדרה . לפי אי-שוויון הממוצעים, . במקרה טענה זו קובעת כי .

הוכחות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המקרה n=2[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה גאומטרית לאי-שוויון הממוצעים במקרה n=2. באדום, הממוצע החשבוני של a ו-b, בתכלת, הממוצע ההנדסי שלהם ובירוק הממוצע ההרמוני שלהם.

נשתמש בעובדה הפשוטה שהריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אי-שלילי:

כלומר:

ולכן לאחר חלוקה ב-4 ולקיחת שורש:

קל לראות ש- ולכן מכיוון ש- בהכרח .

הוכחתו של קושי[עריכת קוד מקור | עריכה]

קושי הוכיח את האי-שוויון בשיטה הנקראת לפעמים "אינדוקציה הפוכה": ראשית, הוא הראה שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בנות n מספרים, אז הוא מתקיים לסדרות בנות 2n מספרים - ולכן, באינדוקציה (רגילה), הוא מתקיים לסדרות בנות מספרים, לכל m. בנוסף לזה, הראה קושי שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בגודל מסוים, אז הוא מתקיים לסדרות קטנות יותר. מכיוון שכל מספר קטן מאיזו-שהיא חזקה של 2, ההוכחה הושלמה.

הצעד הראשון: נניח שהאי-שוויון מתקיים לכל חיוביים. אז

כאשר האי-שוויון הראשון נובע מן ההנחה שהאי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל n, והשני מן המקרה .

הצעד השני: נניח שהאי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל n; אם נתונים כאשר , נסמן ונקבל , ולכן .

את האי-שוויון אפשר להוכיח בדרך דומה.

הוכחה באמצעות אי-שוויון ינסן[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להוכיח את האי-שוויון באמצעות אי-שוויון ינסן, הקובע כי

לכל פונקציה f קמורה. אם משתמשים בפונקציה , ומציבים , מתקבל

.

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחת ההכללות החשובות לאי-השוויון מתקבלת מחזרה על כל רכיב מספר פעמים, למשל . אם חיוביים כמקודם ו- שלמים חיוביים וסכומם , אז האי-שוויון הופך להיות

.

באי-שוויון זה אפשר להחליף את המקדמים במספרים חיוביים כלשהם; למשל, כאלה שסכומם . כאשר כל המקדמים שווים ל-, מתקבל אי-שוויון הממוצעים.