שיחה:האלכסון של קנטור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

למעשה, לכסון קנטור זו שיטה כללית להוכחה שקבוצה מסויימת אינה בת מניה ובאופן כללי להוכיח כי קבוצה היא מעל עוצמה מסויימת, כמו גם להוכיח שיש כמות אין סופית של עצמות אינסופיות. --Alon 04:03, 25 יולי 2004 (UTC)

הוכחה פשוטה יותר[עריכת קוד מקור]

נסתכל על הייצוג הבינארי של המספר, ובעזרתו נבנה טור שתוצאתו תהיה המספר: כאשר הוא המספר, ו- הם סדרת מספרים ובה כל מספר הוא או 0 או 1, ואם סופי, אז ממקום מסוים תמיד שווה לאפס. ניתן לראות שקבוצת ה- שעבורם שווה לאחד היא קבוצה חלקית מקבוצת המספרים השלמים וההתאמה בין המספר לקבוצה היא חד-חד-ערכית ועל. --כרוז 15:35, 23 באוגוסט 2007 (IDT)

אלכסון או שני ?[עריכת קוד מקור]

לפי מה שאני מכיר, זה האלכסון השני של קנטור, כשהראשון משמש להראות שעוצמת הרציונאליים היא כעוצמת הטבעיים. אני טועה ? ‏Jacobs‏ • שיחה 11:05, 22 בינואר 2008 (IST)

הערות לבקשת דניאל[עריכת קוד מקור]

  1. האם אכן "ההוכחה מתבססת על ההצגה העשרונית של המספרים הממשיים"? בערך המקביל באנגלית הביאו דוגמא בינארית הרבה יותר פשוטה.
  2. התמונות באנגלית הרבה יותר ברורות
  3. "כעת יש לנו התאמה חד-חד-ערכית ועל בין הסדרות לבין המספרים הממשיים בקטע (0,1)." - מאיפה זה?
  4. את הדוגמא עם n ו rn יש לפשט ולכתוב בלשון לא מתמטית (אפשר!). קשה לי להכנס לעומק נוסחאות כאלו. הכתיבה המתמטית יכולה לבוא כתוספת, לא במקום.
  5. המשפט "המספר אותו בנינו נמצא בקטע (0,1), אך לא ייתכן שהוא נכלל בספרור שעשינו, שכן עבור כל מספר טבעי n, המספר שבנינו שונה מהמספר בספרה אחת לפחות. מכאן שההנחה כי הקטע (0,1) הוא בן מנייה איננה נכונה." מבלבל. צריך להיות כתוב שהמספר שבנינו נמצא בקטע כי הוא מהצורה 0.XYZ אולם הוא לא שווה לאף אחד מהמספרים שהכננו קודם, בגלל שדאגנו בבנייה שהוא יהיה שונה. כלומר, למרות שקודם בנינו אוסף של מספרים בקטע (0,1) שיש לו התאמה חד חד ערכית ועל אל המספרים הטבעיים, הצלחנו לייצר מספר נוסף בין (0,1) שאין לו התאמה לאף מספר טבעי, כי כולם תפוסים.

אלו הנקודות הראשיות מבחינתי. עדירל - שיחה 23:15, 1 בספטמבר 2010 (IDT)

  1. הבחירה של בסיס הספירה ממש לא חשובה להוכחה כל עוד זה לא בסיס אונרי. ניתן להוכיח זאת עם בסיס בינארי, עשרוני ואפילו בבסיס סקסגסימלי. כך שהשאלה איזו הוכחה עדיפה היא שאלה סובייקטיבית. מצד אחד הגרסה הבינארית "נקייה", אין בה מידע מיותר וכל מתמטיקאי יעדיף אותה. מצד שני כולם מכירים את הבסיס העשרוני וקל להם יותר לחשוב במונחים שלו. כך שאני לא יודע מה עדיף.
  2. הוספתי תמונה משם.
  3. שכתבתי.
  4. מה זה הדוגמה עם n ו-m? זאת מהתמונה?
  5. שכתבתי את כל ההוכחה.
אז איך עכשיו? דניאל ב. 23:42, 1 בספטמבר 2010 (IDT)
  1. כלומר, ההוכחה לא מתבססת על המספרים העשרוניים. מה שאולי ניתן לכתוב זה: להלן אנו מביאים דוגמא המתבססת על המספרים העשרוניים. את זה אפשר לכתוב לאחר שמסבירים שההוכחה ניתנת להעשות בכל שיטת ייצוג ... לטעמי, הכי טוב זה לתת קודם את הגרסה הבינארית ואחר כך את העשרונית.
  2. תודה.
  3. "אם הספרה במקום ה-n בפיתוח העשרוני של המספר היא 0, במספר שלנו הספרה ה-n תהיה 1. אחרת, היא תהיה 0." - אפשר לנסות לכתוב משהו כמו - נסדר את המספרים באופן שרירותי ונבנה מספר חדש אשר יהיה שונה מכל אחד מהמספרים הקודמים בלפחות ספרה אחת. נעשה זאת כך:
תודה על המאמץ. יותר טוב. יישר כח. עדירל - שיחה 00:23, 2 בספטמבר 2010 (IDT)
רצוי להיות אנושי ומובן, ולכן אין צורך להביא את הגרסה הבינארית.
הביטוי "נסדר את המספרים באופן שרירותי" אינו ראוי להופיע בהוכחה. דוד שי - שיחה 00:27, 2 בספטמבר 2010 (IDT)
  1. הוספתי התייחסות.
  2. בבקשה.
  3. זה משפט שגוי כי אנחנו לא מסדרים באופן שרירותי. אנו מניחים שקיימת התאמה ובכך תם החופש שלנו שכן תאורטית ייתכן שקיימת התאמה אחד ויחידה בלבד ואז היא כופה עלינו את הסדר שלה ואין פה שום דבר שרירותי. דניאל ב. 00:33, 2 בספטמבר 2010 (IDT)
סליחה על המשפט השגוי. כל אשר ביקשתי הוא להסביר שאנו בכוונה בונים מספר חדש אשר שונה מכל אחד מהמספרים המותאמים (קרא להם איך שאתה רוצה) בספרה אחת וכך נוצר האלכסון שהןא הוא המספר החדש. עדירל - שיחה 00:39, 2 בספטמבר 2010 (IDT)
כרגע אין לי רעיון כיצד לתאר את התהליך ללא שימוש בשפה מתמטית בסיסית (המקום ה-n). הדבר היחדי שאפשר לעשות זה להוסיף משפט על הפעולות הראשונות בסדרה ("בוחנים את הספרה הראשונה במספר הראשון ואחר כך את השנייה במספר השני וכן הלאה עד אינסוף"). דניאל ב. 00:47, 2 בספטמבר 2010 (IDT)

בסיס בינארי[עריכת קוד מקור]

אני לא מבין איך השיטה עובדת בבסיס הבינארי. הרי עלול להתקבל לנו מספר שבסופו אין סוף אחדות, בעוד שברשימה קיים אותו מספר רק אם אפסים, ומספר קודם גדול ב1, וככה השיטה לא תעבוד. מה עושים במצב כזה? שדדשכשיחה • כ"ו בסיוון ה'תשע"א • 11:54, 28 ביוני 2011 (IDT)

אפשר לטעון באופן שקול כי קיים מספור לכל הסדרות הבינאריות, כך שכל מספר מופיע ברשימה פעם אחת או פעמיים ומשם להמשיך כרגיל. דניאל ב. תרמו ערך 13:55, 28 ביוני 2011 (IDT)
ברור, אבל הטענה שהשיטה עובדת לכל בסיס בפירה לא אונארי היא שגויה - בשביל בסיס בינארי יש להפעיל שיטה שונה במקצת. שדדשכשיחה • כ"ו בסיוון ה'תשע"א • 23:42, 28 ביוני 2011 (IDT)
מהערך האנגלי ניתן ללמוד שההוכחה המקורית של קנטור עסקה לא במספרים ממשיים, אלא באוסף של סדרות הבנויות רק מהספרות 0 ו-1. זהו ניואנס של מספר בינארי, שיתרונו שהבעיה שהוצגה לעיל אינה קיימת בו. ראוי לתרגם קטע זה מוויקי האנגלית, ורק אחריו להציג את האלכסון במספרים ממשיים. דוד שי - שיחה 07:42, 29 ביוני 2011 (IDT)