שיחה:מכפלה קרטזית

תוכל להסביר לי את החלק האחרון? (הפונקציה)

מה המשמעות של $\Lambda$? יובל מדר

הרחבתי קצת את הערך. תעיף מבט, ואם אתה עדיין לא מבין, אני אשמח אם תפרט לי בדיוק מה הנקודות שבהן אתה נתקע - בסופו של דבר, המטרה של הערכים הללו היא שיבינו אותם בדיוק. אגב, כמה טוב אתה מכיר את תורת הקבוצות בכלל, ומכפלות קרטזיות בפרט? (זה חשוב כדי להבין מה מבין מהערך מישהו שיש לו השכלה כזו וכזו) גדי אלכסנדרוביץ' 05:51, 29 יולי 2004 (UTC)

עכשיו אני מבין, בעצם כל פונקציה מייצגת n-יה סדורה שהמקום הi שלה מוגדר על ידי (f(i, כן?

אני אכן מכיר את תורת הקבוצות (הנאיבית דווקא) ואת המכפלה הקרטזית בפרט. יובל מדר

כן, אלא שפונקציה היא דבר יותר כללי ויותר טוב, משתי סיבות עיקריות:

1. המושג של "n-יה" לא מוגדר כמו שצריך. הרי זו בעצם קבוצה שקיימת בה סדרתיות (מקום ראשון, מקום שני וכו'), אבל סדרתיות זה לא דבר שבא יש מאין. באופן אינטואיטיבי אין בעייה להשתמש בו, אבל כשאתה מנסה לבנות את המתמטיקה על דברים יסודיים, תעדיף לא להשתמש בn-יה כאובייקט יסודי, אלא לבנות אותה מאובייקטים אחרים - במקרה הזה, הקבוצות, שבהן אין סדר. הדרך לעשות את זה היא באמצעות פונקציות (שבתורן מוגדרות באמצעות זוגות סדורים, שבתורם מוגדרים באמצעות קבוצות).
2. n-יה היא דבר סופי. יותר מזה, בn-יה יש סדר בין האיברים, האיברים לא צפופים, וכו'. מכפלה קרטזית באופן כללי לא מוגבלת על ידי הדברים הללו - אתה יכול להגדיר גם מכפלה קרטזית בסגנון $\!\,\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$.

ה"בעיה" היא שפונקציה היא בעלת טווח יחיד, לכן חייבים "לערבב" את כל הקבוצות שמהוות את המכפלה הקרטזית, ואז צריך לדרוש מהפונקציה לבחור רק את האיברים "הנכונים" לכל קוארדינטה. כשהמכפלה שלך היא לא בת מנייה, אני חושב שאתה צריך את אקסיומת הבחירה בשביל זה, אם כי אני לא בטוח.

אם לדעתך בערך עדיין יש דברים לא ברורים, אתה מוזמן לנסות ולתקן או להוסיף דברים. גדי אלכסנדרוביץ' 06:46, 29 יולי 2004 (UTC)

כן, קצת אחרי שכתבתי נזכרתי שהגדרת אותה על משפחה כללית של קבוצות... :) תודה! יובל מדר

---

הסבר בקשר לשינוי: באנגלית מכפלה קרטזית נקראת cartesian product ולפעמים direct product. בכל מקרה היא לא נקראת cross product. הביטוי הזה משמש לתאר את מה שבעברית נקרא "מכפלה וקטורית", והוא דבר שונה לגמרי. גדי אלכסנדרוביץ' 15:58, 2 ספט' 2004 (UTC)

בעיה בקשר להגדרה של מכפלה קרטזית חוזרת

משהו שלא הצלחתי להבין זה איך להתמודד עם מכפלה קרטזית של יותר מ-2 קבוצות, כי מדובר באופרטור בינארי. כעיקרון במכפלה של 3 קבוצות אמורים לקבל זוגות סדורים מקוננים, כך שהאיבר הראשון הוא זוג סדור והשני הוא איבר נוסף. מה עושים במקרה שרוצים שאחד האיברים יהיה בעצמו טאפל - אפשר לעשות את המכפלה בסוגריים, אך עדיין יש פה בעיה עם ההגדרה הפורמלית של הפעולה לקבוצות מרובות. (¯`gal´¯) - שיחה 01:35, 13 בנובמבר 2019 (IST)

ראשית, אפשר להגדיר מכפלה קרטזית בגודל כלשהו (לרבות אינסופי). אבל בגישה הבינארית, מה הבעיה בכך שהקבוצות חוזרות על עצמן? ההגדרה חלה על $X\times X$ בדיוק כמו על כל זוג קבוצות אחר. עוזי ו. - שיחה 12:55, 13 בנובמבר 2019 (IST)

$((0,1),2)$ לא שקול ל $(0,1,2)$. אז כנראה שהנוטציה בעייתית, כי היא נראית כאופרטור בינארי, אם כי נראה שלפי ההגדרה, יש לה גם צורה שיכולה לקבל כל מספר של קבוצות, אך גם פה ישנה בעיה - אם יש מספר מסויים של קבוצות, יש כמה אופציות לאיך יכולת להתכוון להפעיל את האופרטור עליהן, נניח להפעיל רק על חלק ואת התוצאה לכפול עם השאר - כמובן שזה פתיר בעזרת סוגריים. כנראה שצורה כמו $\times (A,B,C)$ או דבר דומה היה נראה יותר מובן. בעיה אחרת, אם נניח נסתכל על מכפלה חוזרת בהגדרה רקורסיבית, שהיא תקינה: $A^{i}=A\times A^{i-1}$ כש $A^{1}=A$. פה מקבלים בוודאות מבנה מקונן, לפי ההגדרה הפורמלית. (¯`gal´¯) - שיחה 01:38, 15 בנובמבר 2019 (IST)

אני לא מבין את המלה "שקול" במשפט הראשון. אפשר להגדיר שלשות כפונקציות מקבוצה קבועה בגודל 3, ואפשר להגדיר איטרטיבית כזוג שאחד מרכיביו הוא זוג סדור. הסימון, כרגיל, הוא תלוי הקשר. אבל (גם כן כרגיל) הסימונים הבסיסיים הם גלעין מזוקק של גאוניות ביעילות הגמישה שלהם. עוזי ו. - שיחה 11:21, 15 בנובמבר 2019 (IST)

שאלה שאלתית

מדוע בדוגמא עם הקלפים, מופיעים בתוצאה של המכפלה הקרטזית:

(2)

(♣ ,A, ♠)

עברית-אנגלית. זו צריכה להיות קבוצה של זוגות סדורים. עוזי ו. - שיחה 16:03, 8 בספטמבר 2020 (IDT)

נראה לי נוסח מאוד בעייתי

בהגדרת המכפלה: "שיוצרת מהן קבוצות חדשות שבהן יש חשיבות לסדר האיברים."

א. המכפלה יוצרת קבוצה ולא קבוצות.

ב."יש חשיבות לסדר האיברים" , סותר את הגדרת הקבוצה. אולי צריך משהו כמו: "שיוצרת מהן קבוצה חדשה שבה כל איבר הוא אוסף של עצמים סדורים." או "שיוצרת מהן קבוצה חדשה שבה כל איבר הוא אוסף של עצמים, כאשר יש חשיבות לסדר העצמים באיבר."