שיחה:צורת ז'ורדן

בקשר לשורה הראשונה: חשבתי שצורת ז'ורדן קיימת לכל מטריצה, ושאם הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינארים (זרים) המטריצה לכסינה.

כמו כן, האם "בסיס מז'רדן הוא ביטוי פורמלי? איפה משתמשים בו? גדי אלכסנדרוביץ' 06:32, 13 יולי 2005 (UTC)

זה נכון שאם הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינארים זרים המטריצה לכסינה אבל זה לא תנאי מספיק והכרחי (למשל מטריצת היחידה אלכסונית אך הפולינום האופייני שלה אינו מתפרק לגורמים לינארים זרים כאשר סדר המטריצה גדול מ-1). מה שכן תנאי מספיק והכרחי להיותה של מטריצה לכסינה הוא התנאי שנובע מצורת ז'ורדן הקובע שמטריצה לכסינה אם ורק אם הפולינום המינימלי שלה מתפרק לגורמים לינארים זרים (כי אז גודלו של הבלוק הגדול ביותר המתאים לכל ערך עצמי הוא 1, כלומר צורת הז'ורדן היא אלכסונית.

קבוצת המטריצות שאין להן צורת ז'ורדן מעל שדות שאינם סגורים אלגברים כוללת את כל המטריצות שהפולינום האופייני שלהן אינו מתפרק לגורמים לינארים מעל השדה. הוכחה לכיוון אחד: נניח שקיימת מטריצה שהפולינום האופייני שלה אינו מתפרק לגורמים לינארים מעל השדה ויש לה צורת ז'ורדן בשדה. נמצא את צורת הז'ורדן שלה. כעת נחשב את הפולינום האופייני שלה לפי צורת הז'ורדן. כיוון שהמטריצה משולשית, קל לראות שנקבל ביטוי שמתפרק לגורמים לינאריים. סתירה לכך שהפולינום האופייני אינו מתפרק לגורמים לינאריים.

פורמלי זה עניין לא ממש מוגדר פורמלית... לעניות דעתי כל ביטוי שתגדיר אותו פורמלית הופך להיות פורמלי. אני למדתי את המושג "בסיס מז'רדן" באוניברסיטה העברית בירושליים. אני סבור שנוח מאד להשתמש בו בהקשר הזה, מה גם שבמקרה זה הוא הוגדר היטב (פורמלית).

Yoavcohen 08:22, 13 יולי 2005 (UTC)

תודה, קצת התבלבלתי כי עבר הרבה זמן מאז שלמדתי את החומר, וגם אז לא ממש שלטתי בו. שכחתי לגמרי לחשוב על המקרה שבו השדה לא סגור אלגברית... גדי אלכסנדרוביץ' 10:01, 13 יולי 2005 (UTC)

בסיס מז'רדן וסתירה בערך

ציטוט מהמאמר:

נסמן $B_{i}=C_{1}\cap ...\cap C_{d_{i}}$ את איחוד הבסיסים הציקלים שמצאנו המתאימים לערך העצמי $\lambda _{i}$.

אבל הפעולה שמתוארת כאן היא חיתוך. איפה הטעות? בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 00:48, 29 אוקטובר 2005 (UTC)

צודק, צריך לשנות את זה לאיחוד. וגם את השורה האחרונה באותה פסקה שם במקום סימן איחוד יש פסיקים, וגם שם צריך לשנות לאיחוד. יואב.

אמירה משונה

"צורת ז'ורדן היא צורה קנונית של מטריצה A, המייצגת טרנספורמציה לינארית..."

טוב ויפה, אבל האם מישהו יכול להראות לי מטריצה שאינה מייצגת טרנספורמציה לינארית? צריך לשכתב את המשפט הזה (וגם את שאר הערך לא יזיק לתקן קצת). גדי אלכסנדרוביץ' 05:12, 8 דצמבר 2005 (UTC)

צודק, צריך לשנות את זה לאיחוד. וגם את השורה האחרונה באותה פסקה שם במקום סימן איחוד יש פסיקים, וגם שם צריך לשנות לאיחוד.

מספור סעיפים עברי?

א. ב. ג. וכו', כפי שמופיע בערך. ממתי אנחנו עושים את זה בויקיפדיה? הא? 16:07, 23 פברואר 2006 (UTC)

כותב הערך המקורי לא היה ויקיפד קבוע, וזה כנראה מסביר את זה. אם אתה מוצא לנכון - תשנה. גדי אלכסנדרוביץ' 16:16, 23 פברואר 2006 (UTC)

לא ברור

"באופן אינדוקטיבי נגדיר $\ v_{1},...,v_{k}$ על ידי: $\ (T-\lambda _{i}I){\vec {v_{j+1}}}={\vec {v_{j}}}$, עד אשר לא יהיה פתרון למשוואה."

האם השאלה "האם יש פתרון למשוואה" לא תלויה בשאלה אילו איברי בסיס אנו בוחרים? עבור איברי בסיס מסויימים עשוי להיות לה פתרון ועבור אחרים עשוי שלא להיות פתרון, אלא אם אני מתבלבל (ואם ייטען שאני מתבלבל, אנסה להביא דוגמה נגדית). גדי אלכסנדרוביץ' 22:36, 22 בספטמבר 2007 (IST)

כשגילית שהאלגוריתם שגוי, היה מן הראוי למחוק אותו. עוזי ו. - שיחה 20:51, 15 בנובמבר 2010 (IST)

האלגוריתם שהיה בערך

מחקתי את האלגוריתם שהופיע בערך:

"אלגוריתם למציאת בסיס שהוא איחוד של בסיסים ציקליים לתת-מרחבים:

כדי למצוא בסיסים לתת-מרחבים הציקליים עבור ערך עצמי $\ \lambda _{i}$ נפעל באופן הבא:

1. . נמצא בסיס B של המרחב העצמי של $\ \lambda _{i}$ ולכל וקטור $\ {\vec {v_{l}}}\in B$ נבצע את הפעולות הבאות:
   1. נסמן $\ v_{1}=v_{l}$.
   2. באופן אינדוקטיבי נגדיר $\ v_{1},...,v_{k}$ על ידי: $\ (T-\lambda _{i}I){\vec {v_{j+1}}}={\vec {v_{j}}}$, עד אשר לא יהיה פתרון למשוואה.
   3. נסמן $\ C_{l}=\{v_{1},...,v_{k}\}$ את הבסיס הציקלי שבנינו זה עתה.
2. נסמן $\ B_{i}=C_{1}\cup ...\cup C_{d_{i}}$ את איחוד הבסיסים הציקלים שמצאנו המתאימים לערך העצמי $\ \lambda _{i}$.
3. $B_{i}$ מהווה בסיס למרחב העצמי המוכלל המתאים ל-$\ \lambda _{i}$.

איחוד הבסיסים $\ {\bar {B}}=B_{1}\cup ...\cup B_{k}$ מהווה בסיס בעל הצורה הרצויה".

לדוגמא, אם T פועלת על המרחב התלת-ממדי $<a,b,c>$ לפי T:a->b->0 ו- T:c->0, אז הגרעין הוא $<b,c>$, אבל את שני אברי הבסיס $c,b+c$ אי אפשר למשוך כלפי מעלה. צריך לבנות את הבסיס הנכון באינדוקציה על הרכיבים בדגל. עוזי ו. - שיחה 20:49, 15 בנובמבר 2010 (IST)

טעות

הנוסחה למציאת מספר הבלוקים מגודל i לערך עצמי נתון (תכונה 4) שגויה. בדיוק בגלל ההסבר על הפסד הדרגה במאמר, הנוסחה במאמר נותנת למעשה את מספר הבלוקים מגודל לפחות i. הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
85.65.3.127 15:14, 2 באוגוסט 2011 (IDT)

שתי שאלות

א) נאמר בפתיחה שהחישובים עם צורת ז'ורדן נוחים כמעט כמו באלכסונית. איך לדוגמא ניתן לבצע כפל של מטריצות ז'ורדן או העלאה בחזקות גבוהות בקלות?

ב)הוזכרו בפסקא על חישוב צורת ג'ורדן המטריצה הצמודה? למה הכוונה האם להצמדת כל רכיב כי זה לא נראה קשור להקשר. האם הכוונה למטריצה הדומה?אריק1111 - שיחה 01:07, 15 ביולי 2012 (IDT)

א) היתרון האמיתי הוא בפירוק של המרחב למרכיבים סטנדרטיים. אפשר לכתוב נוסחה להעלאה בחזקה של הבלוקים, אבל זה לא העיקר. ב) כן. עוזי ו. - שיחה 01:18, 15 ביולי 2012 (IDT)

אתה מתכוון למצוא בסיס סטנדרטי למרחב כלשהו. זה לא מוזכר בערך. תוכל לתת דוגמא?אריק1111 - שיחה 12:34, 15 ביולי 2012 (IDT)

לא בסיס סטנדרטי. הבאת מטריצה לצורת ז'ורדן מפרקת אותו למרכיבים שהפעולה של המטריצה עליהם היא סטנדרטית, במובן שיש רק אחד מכל גודל ולכל ערך עצמי. עוזי ו. - שיחה 13:08, 15 ביולי 2012 (IDT)

משוב מ-31 ביולי 2014

התכונה ה-4 כתובה בצורה לא ברורה: מה זה "הפסד הדרגה"?? בערך האנגלי זה דווקא כתוב במילים פשוטות יותר... 46.19.85.107 18:57, 31 ביולי 2014 (IDT)

טעות/באג

זה רק אני או שאי אפשר לראות את המינוס ב"צורת ז'ורדן של מטריצה", ב4 בנוסחה של כמה בלוקים בגודל מסויים יש. ניסיתי להוסיף אבל זה לא סידר.