שדה סגור אלגברית

שדה סגור אלגברית הוא שדה, שאין לו הרחבות אלגבריות לא טריוויאליות. לכל שדה F יש סגור אלגברי, שהוא השדה הסגור אלגברית הקטן ביותר המכיל את F. זוהי ההרחבה האלגברית היחידה של F, עד כדי איזומורפיזם, שהיא סגורה אלגברית. לפי משפט של ארנסט שטייניץ, מכל עוצמה שאינה בת מניה ומכל מאפיין יש שדה סגור אלגברית יחיד.

הגדרות שקולות

התכונות הבאות כולן שקולות זו לזו:

• השדה סגור אלגברית
• אין לו הרחבה מממד סופי.
• לכל פולינום בעל מקדמים בשדה, יש פתרון.
• כל פולינום אי-פריק בעל מקדמים בשדה, הוא ליניארי (כלומר, ממעלה 1).
• כל פולינום בעל מקדמים בשדה מתפצל לגורמים ליניאריים.

דוגמאות

לפי המשפט היסודי של האלגברה, שדה המספרים המרוכבים סגור אלגברית. זהו הסגור האלגברי של שדה המספרים הממשיים. הסגור האלגברי של שדה המספרים הרציונליים (ולכן של כל שדה מספרים אחר) נקרא שדה המספרים האלגבריים.

הסגור האלגברי של שדה סופי ממאפיין p הוא האיחוד של כל השדות הסופיים מאותו מאפיין. לשדה המתקבל קוראים לפעמים $\ GF(p^{\infty })$.

חשיבות גאומטרית

בגאומטריה אלגברית, כאשר חוקרים מערכות משוואות מנקודת מבט גאומטרית, עובדים תמיד מעל שדה סגור אלגברית; גישה זו מסירה את ההפרעות האריתמטיות (שנובעות מאי-קיום שורשים לפולינומים או למערכות של פולינומים), ומותירה רק את האופי הגאומטרי שלהם. לדוגמה, כאשר עוסקים במספרים רציונליים, הקו הישר $\ y=x$ אינו נחתך עם המעגל $\ x^{2}+y^{2}=1$ (משום שנקודות החיתוך $\ x=y=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}$ אינן רציונליות). שתי נקודות החיתוך מופיעות כאשר עוברים לסגור האלגברי.