שדה סגור אלגברית

במתמטיקה, שדה $F$ הוא סגור אלגברית אם לכל פולינום לא קבוע עם מקדמים מ-$F$ קיים שורש ב-$F$.

דוגמאות

• שדה המספרים הממשיים $\mathbb {R}$ הוא לא סגור אלגברית. הפולינום $x^{2}+1$, למשל, הוא פולינום עם מקדמים ממשיים (0 ו-1) שלא קיים לו שום שורש ממשי - לא קיים מספר ממשי $x$ כך ש-$x^{2}+1=0$. בצורה דומה ניתן לראות שכל תת-שדה של שדה המספרים הממשיים (ובפרט, למשל, שדה המספרים הרציונליים) הוא אינו סגור אלגברית.
• כל שדה סופי $F$ הוא לא סגור אלגברית. אם $a_{1},\ldots ,a_{q}$ הם איברי השדה $F$, אז הפולינום $(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{q})+1=x^{q}-x+1\in F[x]$ הוא פולינום שמקדמיו מ-$F$ אבל לא קיים לו שורש ב-$F$.
• בניגוד לדוגמאות הקודמות, לפי המשפט היסודי של האלגברה, שדה המספרים המרוכבים הוא סגור אלגברית (למשל, לפולינום $x^{2}+1$ קיים שורש מרוכב).
• דוגמה נוספת לשדה סגור אלגברית הוא שדה המספרים האלגבריים, שהוא הסגור האלגברי של שדה המספרים הרציונליים.
• הסגור האלגברי של שדה סופי ממאפיין $p$ הוא האיחוד של כל השדות הסופיים מאותו מאפיין. לשדה המתקבל קוראים לפעמים $GF(p^{\infty })$.

הגדרות שקולות

שדה $F$ הוא סגור אלגברית אם ורק אם הוא מקיים את אחת התכונות השקולות הבאות:

• אין לשדה הרחבה מממד סופי.
• אין לשדה הרחבה אלגברית לא טריוויאליות
• לכל פולינום מעל השדה (שאינו קבוע), יש שורשים בשדה.
• כל פולינום ממעלה גדולה מ-1 מעל השדה הוא פריק.
• כל פולינום שמקדמיו בשדה $F$ מתפצל שם לגורמים ליניאריים.
• לכל מטריצה ריבועית ישנו ערך עצמי.

חשיבות גאומטרית

בגאומטריה אלגברית, כאשר חוקרים מערכות משוואות מנקודת מבט גאומטרית, עובדים תמיד מעל שדה סגור אלגברית; גישה זו מסירה את ההפרעות האריתמטיות (שנובעות מאי-קיום שורשים לפולינומים או למערכות של פולינומים), ומותירה רק את האופי הגאומטרי שלהם. לדוגמה, כאשר עוסקים במספרים רציונליים, הקו הישר $y=x$ אינו נחתך עם המעגל $x^{2}+y^{2}=1$ (משום שנקודות החיתוך $x=y=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}$ אינן רציונליות). שתי נקודות החיתוך מופיעות כאשר עוברים לסגור האלגברי.

סגור אלגברי

לכל שדה $F$ ישנו שדה הרחבה סגור אלגברית. מבין כל שדות ההרחבה הסגורים אלגברית, קיים ויחיד (עד כדי איזומורפיזם, שאיננו יחיד), שהוא הרחבה אלגברית של $F$, והוא נקרא הסגור האלגברי של $F$.

הכללות

סגירות אלגברית נחקרה גם בהקשר של חוגים עם חילוק שאינם שדות, אבל הדוגמאות ספורדיות ואינן עולות לכדי תאוריה אחידה ([1]).

קישורים חיצוניים

• שדה סגור אלגברית, באתר MathWorld (באנגלית)