אטום המימן

אטום המימן הוא האטום של היסוד מימן. אטום מימן נייטרלי מכיל פרוטון אחד בעל מטען חיובי ואלקטרון בעל מטען שלילי הקשורים ביניהם בכח חשמלי. כ-75% מהמסה של החומר (הבאריוני) ביקום היא מימן. אטומי מימן מופיעים כתרכובת במולקולות רבות. מאידך, אטומי מימן נפרדים (שאינם חלק של מולקולה) נדירים בתנאי לחץ וטמפרטורה רגילים בכדור הארץ.

אטום המימן הוא האטום הפשוט ביותר בטבלה המחזורית של היסודות בטבע, והיה במוקד המהפיכה בסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20, שהובילה לפיתוחה של מכניקת הקוונטים. עקב פשטותו, ניתן לחשב בדיוק גבוה מאד את ספקטרום האנרגיות שלו במסגרת מכניקה קוונטית הכוללים תיקונים יחסותיים של תורת השדות הקוונטים. כיוון שספקטרום האנרגיות ניתן למדידה ברמת דיוק גבוהה מאד (בעזרת מסרק תדירויות ) ניתן לעמת, ולאמת, את התחזיות של מכניקת הקוונטים מול המציאות ברמת דיוק חסרת תקדים. אטום המימן במאה ה-21 ממשיך להיות רלוונטי למחקר בפיזיקה בסיסית: סטיות מזעריות, שעדיין לא נמצאו, בין התיאוריה לבין מדידות בניסויים עשויות להצביע על פיזיקה חדשה מעבר למודל הסטנדרטי של פיזיקת החלקיקים.

רקע היסטורי

הנרי קוונדיש, פיזיקאי אנגלי, זיהה לראשונה את אטום המימן כיסוד בסדרת ניסוים בין השנים 1766-1781. כיוון שתוצר השריפה של מימן הוא מים, קרא קוונדיש ליסוד Hydrogenium, הלחם של שתי מילים ביוונית שפירושן יוצר-מים.

בשנת 1859 הראו הפיזיקאי הגרמני גוסטב קירהוף והכימאי הגרמני רוברט בונזן, כי אורכי הגל של צבעי האור (ספקטרום) הנפלטים מאטומים שונים מהווה "טביעת אצבע" ייחודית לכל אטום.

בשנת 1885 מצא יוהאן יעקב בלמר, מתמטיקאי שווייצרי, נוסחה אמפירית עבור סדרה של אורכי הגל המאפיינים את קווי הבליעה והפליטה של אטום המימן

${\frac {1}{\lambda }}=R_{\text{H}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)$

כאשר $R_{H}$ הקבוע של רידברג (ביחידות של מספר גל), $n_{1,2}$ טבעיים (שלמים וחיובים) ו $\lambda$ אורך הגל.

ניסיונות פיזור של ארנסט רתרפורד ב-1909 הראו שהאטום מורכב מגרעין זעיר מוקף בענן אלקטרונים. הפיזיקה הקלאסית, חוקי ניוטון ומכסוול, לא רק שאינה נותנת הסבר תאורטי לנוסחה האמפירית של רידברג, אלא אף מובילה למסקנה שאטומים אינם יכולים להיות יציבים, ובפרק זמן מזערי האלקטרון צריך היה לקרוס לגרעין.

בשנת 1913 נילס בוהר, פיזיקאי דני, ושלוש שנים לאחר מכן, ארנולד זומרפלד, פיזיקאי גרמני, פיתחו תאוריה קוונטית למחצה (סמי-קלאסית) שנתנה את הנוסחה האמפירית של רידברג, וביטאה את הקבוע של רידברג באמצעות קבועי יסוד של הטבע: מטען האלקטרון, מסתו, והקבוע של פלנק המאפיין את המכניקה הקוונטית. התיאוריה הסמי-קלאסית לא הייתה שלמה כיוון שלא הצליחה לתאר למשל את אפקט זימן, ולא ניתן היה להכליל אותה לאטומים מרובי אלקטרונים.

האתגר למצוא הסבר תאורטי שלם לתכונות הספקטרום של אטום המימן הנחה את ורנר הייזנברג, פיזיקאי גרמני, ארוין שרדינגר, פיזיקאי אוסטרי, ונילס ובוהר, פיזיקאי דני, בפיתוח של תורת הקוונטים בשנות ה-20 של המאה העשרים.

בשנת 1926 פרסם ארוין שרדינגר, מאמר בעיתון Annalen der Physik שכותרתו הייתה "קוונטיזציה כבעיית ערכים עצמיים", ובה הציע לראשונה את משוואת שרדינגר, בצורה שאנו מכירים אותה היום, חישב באמצעותה את הספקטרום של אטום המימן, ושיחזר את הנוסחה האמפירית של רידברג ואת התוצאה הסמי-קלאסית של בוהר וזומרפלד.

שנה לפני כן, ב-1925, ניסחו גיאורג אולנבק וסמואל גאודסמיטד את היפותזת הספין של האלקטרון, ושנה לאחר מכן ב-1927, מדדו פיליפ וטילור את אפקט שטרן גרלך באטום המימן.

בשנת 1928 הכליל פול דירק, פיזיקאי אנגלי, את משוואת שרדינגר עבור אלקטרון יחסותי. משוואת דירק לאטום המימן התאימה לכל התוצאות הנסיוניות של הספקטרום של האטום עד שנת 1947. באותה שנה מצאו ויליס לם ורוברט רתרפורד סטיה קטנה מתורת דירק. לפי תורת דירק הרמה ${}^{2}S_{1/2}$ והרמה ${}^{2}P_{1/2}$ מנוונות באנרגיה, בעוד שהניסיון הראה שהאנרגיה של שתי הרמות אינה זהה. הנס בתה, פיזיקאי גרמני-אמריקאי, חישב את הפיצול באנרגיה במסגרת התורה הקוונטית של השדה האלקטרומגנטי.

במאה ה-21 אטום המימן הוא אחת הפלטפורמות למחקר של הפיזיקה מעבר למודל הסטנדרטי. המחקר מתמקד בחיפוש אחר אי התאמות זעירות בין התיאוריה של תורת השדות הקוונטית לבין מדידות ספקטרוסקופיות מאד מדויקות, בעזרת מסרק תדירויות , של ספקטרום אטום המימן.

איזוטופים

האיזוטופ הנפוץ ביותר של מימן, ¹H הנקרא גם פרוטיום בנוי מפרוטון אחד בגרעין ואלקטרון אחד.

קיימים שני איזוטופים נפוצים פחות של מימן: דאוטריום (מסומן ²H, או D) וטריטיום (מסומן ³H, או T). הגרעין של הדאוטריום מכיל פרוטון אחד ונייטרון אחד והגרעים של הטריטיום מכיל שני נייטרונים ופרוטון אחד. איזוטופים כבדים יותר של מימן נוצרים במאיצי חלקיקים ומתקיימים לשברירי שניות.

השימוש העיקרי בדאוטריום הוא במים כבדים המשמשים כמאיטי נייטרונים בסוגים מסוימים של כורים גרעיניים. מולקולה של מים כבדים בנויה משני אטומי דאוטריום הקשורים לאטום חמצן.

השימוש העיקרי בטריטיום הוא כנפץ בפצצות מימן.

משוואת שרדינגר לאטום המימן

משוואת שרדינגר (שאינה תלויה בזמן) לאטום המימן היא

$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +eV\right)\psi =E\psi ,\quad V=-{\frac {k}{r}}$

כאשר $\Delta$ הוא הלפלסיאן בשלושה ממדים, $\hbar$ הקבוע של פלנק, $m$ המאסה (המצומצמת) של האלקטרון, ו $V$ הוא פוטנציאל קולון. $k={\frac {e}{4\pi \epsilon _{0}}}$ ביחידות SI ו - $k=e$ ביחידות cgs. $e$ הוא מטען האלקטרון, $\epsilon _{0}$ המקדם הדיאלקטרי של הואקום ו $r$ הקואורדינטה הרדיאלית. $\psi$ היא פונקציית הגל של שרדינגר, פונקציה מרוכבת של שלושת הקואורדינטות המרחביות, המתארת אמפליטודת (צפיפות) הסתברות למציאת האלקטרון בנקודה במרחב. $E$ היא האנרגיה של האלקטרון. $E<0$ מתאר את המצבים בהם האלקטרון קשור לגרעין המימן. $E>0$ חיובי מתאר את מצבי פיזור כאשר האלקטרון אינו קשור לגרעין המימן. ניתן להראות כי עבור $E<0$ קיימים פתרונות למשוואת שרדינגר (עם פירוש הסתברותי לפונקציית הגל) עבור אנרגיות בדידות הידועות כערכים עצמיים. הערכים העצמיים נתונים בנוסחה $$E_{n}=-{\frac {R_{\infty }}{n^{2}}},\quad R_{\infty }={\frac {me^{2}k^{2}}{2\hbar ^{2}}}\,\,\!,\quad n=1,2,\dots$$$R_{\infty }$ הוא קבוע רידברג לאטום המימן ביחידות של אנרגיה. כאשר האלקטרון דועך מרמת אנרגיה אחת לרמת אנרגיה נמוכה יותר, נפלט פוטון שהאנרגיה שלו היא הפרש האנרגיה בין שתי הרמות. תוצאה שנובעת מחוק שימור האנרגיה. נוסחת פלנק קושרת את תדירות הפוטון לאנרגיה שלו, ומכאן נובעת הנוסחה האמפירית של רידברג

$\hbar \omega =E_{n_{2}}-E_{n_{1}}=R_{\infty }\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right),\quad \omega ={\frac {2\pi c}{\lambda }}$

הקשר בין קבוע רידברג ביחידות של מספר גל וביחידות אנרגיה נתון בנוסחה $R_{\infty }=2\pi \,\hbar \,c\,R_{H}$ כאשר c מהירות האור. קבוע רידברג ביחידות של אלקטרון וולט הוא $R_{\infty }=13.605\;693\;122\;994(26)\,{\text{eV}}$.

המספרים הקוונטים של רמות האנרגיה

המספר הטבעי $n$ בנוסחה לאנרגיה $E_{n}$ של מצב קשור נקרא המספר הקוונטי הראשי. כדי לאפיין באופן חד ערכי את פונקציית הגל של רמת האנרגיה $E_{n}$ יש צורך במספרים קוונטים נוספים. הצורך במספרים אלה נובע מכך שמצבים קוונטים שונים, המאופינים של ידי פונקציות גל $\psi$ שונות, חולקים את אותה אנרגיה. רמות אנרגיות כאלה נקראות מנוונות. אפיון חד ערכי של פונקציות הגל דורש שלושה מספרים קוונטים $n,\ell ,m$ כאשר $\ell$ נקרא המספר הקוונטי של התנע הזוויתי הכללי ומקבל ערכים שלמים $\ell =0,\dots ,n-1$ ו $m$ נקרא המספר הקוונטי המגנטי (לחלופין התנעי הזוויתי על ציר כל שהוא) ומקבל ערכים שלמים $m=-\ell ,\dots ,\ell$. פונקציית הגל מיוצגת חד ערכית על ידי השלשה: $\psi _{n,\ell ,m}$.

מקובל לסמן את מצבי התנע הזוויתי הנמוכים באותיות:

$\ell =0\Leftrightarrow S,\quad \ell =1\Leftrightarrow P,\quad \ell =2\Leftrightarrow D$

כך למשל, ${}^{2}S_{1/2}$ מציין את הרמה עם מספר קוונטי עיקרי $n=2$, תנע זוויתי $\ell =0$ וספין $1/2$.

המספרים הקוונטים $\ell ,m$ נובעים מהסמטריה של אטום המימן: למשוואת שרדינגר לאטום המימן יש סמטריה תחת סיבוב כל שהוא בשלושה ממדים. כתוצאה מהסמטריה ניתן לראות כי בקואורדינטות כדוריות יש לפונקציית הגל הצורה

$\psi _{n,\ell ,m}=R_{n,\ell }(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$

כאשר $Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$ פונקציה הרמונית כדורית. במיוחד, פונקציית הגל של מצב היסוד נתונה בנוסחה

$\psi _{1,0,0}(r)={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}a_{0}^{3/2}}}e^{-r/a_{0}},\quad a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}$

כאשר $a_{0}\approx 0.529\times 10^{-10}\,[m]$ רדיוס בוהר.

באופן כללי הפונקציות הרדיאליות הן: $$R_{n\ell }\left(r\right)={\sqrt {\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)^{3}{\frac {\left(n-\ell -1\right)!}{2n\left[\left(n+\ell \right)!\right]}}}}e^{-{\frac {r}{na_{0}}}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }\left[L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\right]$$

כאשר $L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left(x\right)$ הם פולינומי לגר המוכללים.

הנוון באטום המימן

אטום המימן מיוחד בכך שרמות האנרגיה שלו מאופינות על ידי המספר הקוונטי הראשי בלבד. עבור כח מרכזי שאינו כח קולון האנרגיות תלויות גם במספר הקוונטי של התנע הזוויתי, $E_{n,\ell }$, ואינן תלויות במספר הקוונטי המגנטי משיקולי סימטטריה. ולכן, לפוטנציאל מרכזי שאינו קולון, יש לצפות לנוון $2\ell +1$ של הרמה $E_{n,\ell }$. במימן אין תלות של האנרגיה בתנע הזוויתי הכללי, והנוון גדל. ניתן לראות מכך שהנוון של רמת האנרגיה $E_{n}$ הוא $n^{2}$. הנוון העודף באטום המימן קשור בסימטריה יותר עשירה מסמטרית הסיבובים בשלושה ממדים, וקשורה בקיום של קבוע תנועה ייחודי לבעיה בפוטנציאל קולון שהוא וקטור רונגה-לנץ

$\mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} -\mathbf {L} \times \mathbf {p} \right)-mk\mathbf {\hat {r}}$

ספין ותיקונים יחסותיים

משוואת שרדינגר המקורית מתארת את אטום המימן בגבול הלא יחסותי. במיוחד, מתעלמת מהספין של האלקטרון. פאולי הכליל את משוואת שרדינגר (התלויה בזמן) לחלקיק עם ספין חצי. משוואת פאולי לאטום המימן היא

$\left[{\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {p} \right)^{2}+eV\right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

כאשר ${\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})$ הוא (וקטור) של מטריצות פאולי. ו-$\mathbf {p} =-i\hbar \nabla$ אופרטור התנע.

את התיקונים היחסותיים למשוואת שרדינגר ניתן לסווג באמצעות החזקות של קבוע המבנה הדק

$\alpha ={\frac {e^{2}}{\hbar c}}\approx {\frac {1}{137.035999679(94)}}$

כך למשל, איבר האינטראקציה ספין-מסילה הוא מסדר $\alpha ^{2}$, איבר הפיצול של למב מסדר $\alpha ^{5}$, ושל המבנה המגנטי העל-דק מסדר $\alpha ^{6}$. הפיתוח לטור של רמות האנרגיה של אטום מימן בחזקות של $\alpha$ במסגרת תורת השדות הקוונטית חושב לסדרים גבוהים (הפיתוח כולל גם איברים לוגריתמים).

אילוסטרציה של פונקציות הגל של אטום המימן

	$\ell =0\;(s)$	$\ell =1\;(p)$		$\ell =2\;(d)$
	$m=0\,\!$	$m=0\,\!$	$m=\pm 1\,\!$	$m=0\,\!$	$m=\pm 1\,\!$	$m=\pm 2\,\!$
$n=1\,\!$
$n=2\,\!$
$n=3\,\!$
$n=4\,\!$
$n=5\,\!$

לקריאה נוספת

• Kragh, Helge (1999). Quantum Generations. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-01206-7.
• Shankar, R (1994). Principles of Quantum Mechanics. Kluwer Academic/Plenum Publisher. ISBN 0-306-44790-8.
• Griffiths, David (1995). Introduction to Quantum Mechanics. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-124405-1.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אטום המימן בוויקישיתוף

• סימולציית ג'אווה אינטראקטיבית של פול פלסטד המתארת את האורביטלים של אטום המימן
• האופרטור הווקטורי רונגה-לנץ, בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית" של עופר מגד
• הקזימירים של המימן, בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית" של עופר מגד