התמרת גאבור

דניס גאבור

התמרת גאבור (או טרנספורם גאבור) היא מקרה מיוחד של התמרת פורייה בזמנים קצרים (Short-time Fourier transform; STFT). ההתמרה הוצעה לראשונה על ידי הפיזיקאי דניס גאבור בשנת 1944.

ההתמרה משמשת על מנת לקבל מידע על תדירויות ופאזות המתקיימות באזורים שונים של סיגנל לאורך הזמן, ובכך מהווה כלי מרכזי באנליזת זמן-תדירות (אנ').

התמרת גאבור היא התמרה אינטגרלית הדומה בעיקרה להתמרת פורייה, אלא שהסיגנל מוכפל בפונקציית חלון, כך שרק המידע המוכל בתוך החלון עובר התמרה. חלון זה הוא חלון נייד, וביצוע ההתמרה על פני כל ציר הזמן תניב תמונה דו-ממדית שבה ציר אחד הוא הזמן (למעשה משתנה זמן חלופי) וציר שני הוא התדירות. על התמונה המתקבלת ניתן לחשוב כעל דף תווים המציין מתי יש להשמיע כל צליל וצליל.

גרסה דומה ומשודרגת להתמרת גאבור, היא התמרת S (אנ').

תיאור מתמטי

תהי $f(t)$ פונקציה תלויה בזמן. התמרת גאבור של הפונקציה, המסומנת $G(t_{0},\omega )$, היא:

$G(t_{0},\omega )={\frac {1}{\sigma }}\int _{t_{i}}^{t_{f}}f(t)e^{-({\frac {t-t_{0}}{\tau }})^{2}}e^{-i\omega t}dt$

כאשר $t_{0}$ הוא פרמטר זמן חלופי, שאיננו חייב להיות זהה למשתנה הזמן המקורי (אולם, אם המטרה היא לנתח את כל הסיגנל, יש לבחור את הפרמטר החדשה כך שגבולותיו יהיו זהים לגבולות הזמן המקורי $t_{i},t_{f}$). $\tau$ הוא פרמטר השונות של הגאוסיאן, המשמש במקרה זה כפונקציית חלון, ו-$\sigma$ הוא קבוע נרמול כלשהו. לעיתים, נהוג לכייל את הגאוסיאן בפקטור $\pi$.

בחירת פונקציית החלון היא שרירותית: במקרה לעיל, הבחירה היא בגאוסיאן, אך ניתן לבחור פונקציות שונות המבצעות פעולות שיעור (gating), ובלבד שלא יכניסו תדירויות "פרזיטיות" (למשל, בגלל קיומה של תופעת גיבס). בחירות של $t_{0}$ שונים תניב אוסף של סיגנלים מותמרים, אשר ניתנים לקיבוץ בתמונה אחת דו-ממדית (ר' דוגמה).

בגבול שבו $\tau \to 0$, החלון הגאוסי הופך הלכה למעשה לפונקציית דלתא של דיראק, וההתמרה חסרת משמעות; מהעבר השני, בגבול שבו $\tau \to \infty$ מתקבלת התמרת פורייה.

תכונות ההתמרה

התמרת גאבור, בהיותה וריאציה של התמרת פורייה, גם ירשה ממנה חלק מהתכונות:

	הפונקציה המקורית	התמרת גאבור	התכונה
1	$a\cdot x(t)+b\cdot y(t)\,$	$a\cdot G_{x}(t_{0},\omega )+b\cdot G_{y}(t_{0},\omega )\,$	ליניאריות
2	$x(t-{\tilde {t}})\,$	$G_{x}(t_{0}-{\tilde {t}},\omega )e^{-i\omega {\tilde {t}}}\,$	הזזה בזמן
3	$x(t)e^{i\omega _{0}t}\,$	$G_{x}(t_{0},\omega -\omega _{0})\,$	מודולציה (הזזה בתדירות)

מאחר שההתמרה מערבת שני משתנים דואליים, זמן ותדירות, היא בעלת מגבלות רזולוציה מובנות: כאשר התדירויות נמוכות, ההתמרה איננה בהירה דיה בציר הזמן (מקביל למקרה בו הגאוסיאן רחב מאוד, וההתמרה דומה להתמרת פורייה רגילה); כאשר התדירויות גבוהות ההתמרה איננה בהירה דיה בציר התדירות (מקרה מנוון).

דוגמה

הסיגנל המקורי והסיגנל המותמר

נתבונן בסיגנל הבא, המוגדר למקוטעין (ומופיע באיור העליון):

$x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t)&{\text{for }}t\leq 0,\\\cos(4\pi t)&{\text{for }}t>0.\end{cases}}$

סיגנל זה מורכב משתי תדירויות המתקיימות לבדן באזורי זמן שונים. ריצה על $t_{0}$ שונים תניב את המיפוי המתבקש: באיור התחתון מופיע הערך המוחלט של התמרת גאבור $G(t_{0},\omega )$. אכן, ניתן להיווכח כי התמרת גאבור מציגה את קיומו של התדר הראשון בזמנים אי-חיוביים בלבד, ואת קיומו של התדר השני בזמנים חיוביים בלבד, וזאת בצורה מדויקת למדי.

שימושים

התמרת גאבור משמשת בניתוח אותות ובפרט בעריכת מוזיקה. כמו כן, להתמרה שימוש נרחב בפיזיקה של אטו-שניות: על מנת לקבל מידע לגבי זמני הפליטה של הרמוניות גבוהות, נהוג לבצע התמרת גאבור לערכי התצפית (הנומריים) של התאוצה בצירים השונים, ולהציג את סכומי ריבועי ההתמרות בכל ציר. התמונה המתקבלת אמורה להיות אנלוגית במידת-מה לתמונה הקלאסית המכונה עקומת ה-attochirp.

לקריאה נוספת

המאמר המקורי של גאבור