מקרה מנוון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, מקרה מנוון של עצם מתמטי הוא מקרה קצה של העצם המקיים את הגדרתו, אולם הוא חורג מהמאפיינים השגרתיים של העצם ולרוב הוא פשוט יותר. לעתים המקרה המנוון אינו מקיים את הגדרת העצם אך הוא הגבול של סדרת עצמים המקיימים את ההגדרה.

ההחלטה האם לכלול או לא לכלול מקרה מנוון בהגדרת העצם תלויה בהקשר, והיא מבוססת על אסתטיקה ונוחות. לדוגמה, ניתן להגדיר משולש כאוסף של שלוש נקודות (קודקודים) והקטעים המחברים אותן (צלעות), אולם הגדרה זו כוללת משולשים מנוונים - משולשים שבהם שלוש הנקודות הן על ישר אחד. במקרה כזה משולש מנוון הוא פשוט קטע (בתוספת מידע על מיקום קודקוד עליו). הגדרה זו נוחה כאשר עוסקים באי-שוויון המשולש, שם יש חשיבות למקרה המנוון שבו מתקיים שוויון. אולם כאשר עוסקים בגאומטריה אוקלידית, מקובל להעלים את המקרה המנוון ולהגדיר משולש בעזרת שלוש נקודות שאינן על ישר אחד. זאת משום שמשולש מנוון אינו תואם את התפיסה היומיומית של משולש והוא אינו מקיים תכונות משולש חשובות, למשל הוא אינו מגדיר מישור, ויש משפטים שאינם מתקיימים בו, למשל המשפט: "משולש ששתיים מזוויותיו שוות זו לזו הוא שווה-שוקיים" - שתיים מזוויותיו של משולש מנוון שוות זו לזו (הן אפס), אך משולש כזה אינו בהכרח שווה-שוקיים.

תכונות מסוימות של עצמים מתמטיים משתמרות גם במקרים המנוונים, לעתים קרובות באופן ריק. דוגמה: גם במשולש מנוון מתקיים המשפט שמפגש האנכים האמצעיים הוא מרכז המעגל החוסם, מהסיבה הפשוטה שבמשולש מנוון האנכים האמצעיים אינם נפגשים (הם מקבילים) וכלל אין מעגל חוסם (אין מעגל העובר דרך שלוש נקודות הנמצאות על ישר אחד). לעתים ניאלץ להיזהר בניסוח של טענות, על מנת שיתקיימו גם במקרה המנוון. דוגמה: המשפט "במשולשים דומים, היחס בין שטחי המשולשים שווה ליחס בין ריבועי האורך של הצלעות המתאימות" אינו מתקיים במקרה המנוון (כי הוא מדבר על חלוקה באפס), אך הוא מתקיים בניסוח השקול (המסורבל מעט יותר): "במשולשים דומים, שטח המשולש האחד שווה לשטח המשולש האחר כפול יחס ריבועי האורך של הצלעות המתאימות". הניסוח הראשון שהובא כאן הוא ניסוחו של אוקלידס בספרו "יסודות" (כרך VI, משפט 19), וממנו (כמו ממשפטים נוספים בספר זה, ובפרט משפט 20 בכרך I: במשולש סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית) ברור שאוקלידס לא כלל משולש מנוון בהגדרתו של משולש.

יש דמיון בין עצמים המכונים מנוונים לעצמים המכונים טריוויאליים. אולם לרוב עצם מכונה טריוויאלי בעיקר כשהוא דוגמה פשוטה ביותר לעצם, אבל אין בו איבוד משמעותי של תכונות או של מבנה פנימי כמו במקרה מנוון.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]